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學習重點 利用因式分解找出二次函數的零點，並連結到圖形與 x 軸的交點。 利用配方法找出拋物線的頂點，判斷最大值或最小值，以及取得最值的位置。 以零點分區判斷二次式的正負，並掌握嚴格不等式是否包含端點。 將正整數條件與數值上限合併，先求出範圍，再計算整數解或數對的組數。 核心觀念 一、因式分解：零點就是函數值等於零的位置 二次函數可寫成 f(x)＝Ax²＋Bx＋C，其中 A≠0。零點是使 f(x)＝0 的 x 值。在圖形上，零點就是拋物線與 x 軸交點的橫坐標。 若能分解為 f(x)＝A(x－r)(x－s)，因為兩數乘積為零時至少有一個因數為零，所以零點為 r、s。當 r≠s 時，方程式有兩個相異實根，圖形與 x 軸有兩個相異交點。 例如 x²＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，所以零點為－3、1，交點為(－3,0)、(1,0)。因式中的「＋3」對應零點－3，「－1」對應零點1，不能直接照抄因式內的常數。可以把零點代回原式驗算：1＋2－3＝0，9－6－3＝0，兩個零點都正確。 二次函數 y＝Ax²＋Bx＋C（A≠0）的圖形一定是拋物線。A 的正負決定開口方向。 二、配方法：頂點、開口與最值一起判斷 把二次函數整理成f(x)＝A(x－h)²＋k，就能讀出頂點為 (h,k)，對稱軸為 x＝h。平方值恆大於或等於0，所以最值由 A 的正負決定。 二次項係數圖形開口最值判斷 A＞0向上x＝h 時有最小值 k；在全體實數範圍內沒有最大值。 A＜0向下x＝h 時有最大值 k；在全體實數範圍內沒有最小值。 配方時，先取一次項係數的一半並平方，補進式子後再減回同一個數。例如 x²＋2x－3＝(x²＋2x＋1)－1－3＝(x＋1)²－4。因為 (x＋1)²≥0，函數值至少為－4，而且只有在 x＝－1 時取到。因此頂點是 (－1,－4)，最小值為－4。 還有另一種驗算方式：兩零點的中點就是對稱軸。(－3＋1)÷2＝－1，再代入 f(－1)＝1－2－3＝－4，結果與配方相同。 「在哪裡取得最值」與「最值是多少」必須分開讀。x＝－1 是取得最小值的位置，－4 才是最小值。若代入零點 x＝1，函數值為0，不是4，也不是最小值。開口向上的函數也不會有最大值。 三、零點分區：把乘積的正負轉成區間 若 r＜s，可以用 r、s 把數線分成三個區間，逐區判斷 (x－r)(x－s) 的正負。 x 的範圍x－rx－s乘積 x＜r負負正 r＜x＜s正負負 x＞s正正正 因此，二次項係數為正且有兩個相異實根時，兩根外側為正，兩根之間為負。若二次項係數為負，整體符號反轉。判斷不等式時，先確認開口方向，再決定要取兩根之間或兩根外側。 端點是否納入，取決於不等號。＞、＜不包含使二次式等於0的零點；≥、≤則包含。若零點恰好是整數，端點的取捨會直接影響整數解的個數。 四、正整數解：上下界都要列，最後才計數 若 b 由 a 的二次式決定，而 a、b 都是正整數，除了 a≥1，還必須檢查b＞0。若另有「b＜某個上限」的條件，就要把兩個條件合併，不能只看上限。 下界：以 b＝a²＋a－12 為例，b＞0 可整理為 (a＋4)(a－3)＞0。a 是正整數，所以 a＋4 必為正，因此必須 a－3＞0，也就是 a＞3，得到 a≥4。特別注意：a＝3 時 b＝0，不符合正整數條件。 上界：b＜70 即 a²＋a－12＜70，移項得 a²＋a－82＜0。這個式子無法分解成整數因式，可用公式解求兩根：a＝(－1±√329)/2。由於 18²＝324、19²＝361，√329 約為18.1，所以正根約為8.6。二次項係數為正，取兩根之間，正整數 a 最大只能是8。 也可以利用遞增性直接檢查邊界。對正整數 a，a 每增加1，a²＋a－12 就增加 2a＋2，這個增加量大於0，所以數值會持續變大。a＝8 時 b＝60，符合；a＝9 時 b＝78，已經超過上限。因為式子遞增，更大的 a 也全部不合。 合併上下界，得到 4≤a≤8，也就是 a＝4、5、6、7、8，對應的 b＝8、18、30、44、60，共5組。 從 m 到 n 的連續整數，個數為n－m＋1。另外，每個 a 都由等式唯一決定一個 b，所以只要確認 b 符合條件，符合資格的 a 有幾個，數對 (a,b) 就有幾組。 常考陷阱 只檢查數值上限：正整數要求同時是「整數」且「大於0」。若只檢查 b＜70，會把 a＝1、2、3 時 b 為負數或0的情況算進去，因而多算組數。 把零點當成頂點：零點是函數值為0的位置，頂點才用來判斷最值。兩零點的中點是對稱軸，但零點本身不是最值位置。 配方後讀錯正負號：(x＋1)²－4 的頂點橫坐標是－1，不是1。應令括號內等於0，再讀出位置。 把最小值說成最大值：二次項係數為正時，開口向上，函數值往上沒有上限，只有最小值。若題目沒有另外限制定義域，就不能說它有最大值。 最值位置與數值混寫：判斷敘述時，要同時核對「x 的值」、「是最大或最小」以及「函數值」三項。例如「x＝1 時有最小值4」，位置錯、數值也錯，整句不成立。 零點寫成交點時弄錯形式：「方程式的根」是 x 值，「與 x 軸的交點」是坐標 (x,0)，兩者要分清楚。 不等號端點照收：嚴格不等式不含等號。即使端點是整數，也不能自動列入。 整數個數少加1：從4到8包含兩端，應算 8－4＋1＝5，不能只算兩端的差4。 只試幾個數就斷定範圍：代值適合用來檢查邊界，但仍須以不等式的解集或遞增性，說明沒有遺漏其他整數。 記憶口訣 「分解找零點，配方看頂點；開上有最小，開下有最大。」 「正係數、兩異根：外正內負；嚴格不等號，端點不算入。」 「正整數先查正，上下界要合併；末減初再加一，一個 a 對一組解。」