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學習重點 掌握標準百數表「向右加1、向左減1、向下加10、向上減10」的規律，依相對位置寫出代數式。 能選定未知數的位置，表示相鄰兩列、兩行所構成的四格正方形，並利用總和建立一元一次方程式。 理解九宮格的中心數同時是九個數的中位數與平均數，能以配對方式快速求和。 申論作答須交代未知數的意義、各數的表示方式、列式及計算結果，最後檢查數值與位置是否合理。 核心觀念 一、百數表先看方向，再算差量 標準百數表每一橫列有10個數，由左至右依序增加，下一橫列的相同位置比上一橫列多10。為避免「行、列」用語混淆，作答時可直接寫成左右相鄰差1，上下相鄰差10。 選定某一格為x後，向右移幾格就加幾，向下移幾格就加上幾個10；向左、向上則分別做減法。若向右移a格、向下移b格，所在位置的數就是x＋a＋10b。這是所有相對位置列式的基礎。 相對於x的位置代數表示判斷方式 右邊一格x＋1向右加1 下方一格x＋10向下加10 右下一格x＋11先加1，再加10 左下一格x＋9先減1，再加10 右上一格x－9先加1，再減10 左上一格x－11先減1，再減10 對角線沒有一律固定的差量：向右下移一格增加11，向左下移一格增加9。必須同時考慮水平與垂直的移動方向。 二、四格正方形：以一格為基準表示其餘三格 對於相鄰兩橫列、兩直行組成的四格正方形，設左上角的數為x，四個數可表示如下： xx＋1 x＋10x＋11 四個數由小到大依序為x、x＋1、x＋10、x＋11，因此四數總和＝4x＋22。其中22來自各位置相對於左上角的差量相加：0＋1＋10＋11。 也可以將對角的兩個數配成一組： x＋（x＋11）＝2x＋11；（x＋1）＋（x＋10）＝2x＋11。 可見兩組對角數的和相等，而且各等於四數總和的一半。這個性質可以檢查列式是否正確；但「對角和相等」本身不足以保證四個數構成百數表中的相鄰正方形，仍須檢查左右差1、上下差10。 未知數也可以設在其他位置。例如設右下角為x，四個數就是x－11、x－10、x－1、x，總和為4x－22。設法不同，式子可以不同；只要位置定義一致，求出的四個數應相同。 三、由總和列一元一次方程式 設左上角為x，若四數總和為S，可列出： x＋（x＋1）＋（x＋10）＋（x＋11）＝S4x＋22＝Sx＝（S－22）÷4。 若總和為334，則4x＋22＝334，得到4x＝312、x＝78。因此四個數為78、79、88、89。驗算時，先確認左右各差1、上下各差10，再確認78＋79＋88＋89＝334。 若改設右下角為x，則4x－22＝334，4x＝356，x＝89，四個數仍是78、79、88、89，可互相驗證。 申論題不能只寫出四個數。完整作答應先說明「設左上角的數為x」，接著表示另外三個數，再依總和列式、解方程式，最後寫出所求四數。 四、九宮格：中心數就是排序後的第五個數 對於相鄰三橫列、三直行形成的九宮格，若中心數為x，各格可表示如下： x－11x－10x－9 x－1xx＋1 x＋9x＋10x＋11 由大到小排序為x＋11、x＋10、x＋9、x＋1、x、x－1、x－9、x－10、x－11，因此第五個數就是中心數x。中心上方三數及左邊一數都比x小；中心下方三數及右邊一數都比x大，恰好各有四個。 九個數相加時，九個x合成9x，其餘正負差量互相抵銷，所以九數總和＝9x。也可將關於中心對稱的八個數配成四組，每組和都是2x，再加上中心數x，得到4×2x＋x＝9x。 因此，九宮格的中心數不只是中位數，也是九數的平均數。若已知九數總和，除以9即可求中心數；若只求周圍八數的和，則為8x。 作答時建議先寫出九個數的代數式並排序，說明第五個數為何是x，再相加得9x，理由才完整。 五、圖形有間隔時，先數格距 「四個數圍成正方形」是否為相鄰四格，必須依圖判斷。若邊長跨k個格距，以左上角為x，四個頂點分別是x、x＋k、x＋10k、x＋11k，總和為4x＋22k。相鄰四格是k＝1的情形；看圖時應數移動的格距，不要把兩端包含的格數當成格距。 常考陷阱 把四個數寫成連續整數：x、x＋1、x＋2、x＋3忽略了換到下一橫列時，相同位置增加10。相鄰四格應為x、x＋1、x＋10、x＋11。 把左右與上下差量顛倒：先在圖上標明方向，再寫代數式；水平移動用1，垂直移動用10。 把四數總和誤寫成4x＋11：11只是左上角到右下角的差，總和須把四格的差量0、1、10、11全部相加。 把總和除以4當成左上角：總和除以4求得平均數。相鄰四格的平均數是x＋5.5，並非左上角x，也不是四個數中的任何一個（因為不是整數）。 九宮格少算中心或重算中心：四組對稱數合計8x，還須加上中心x才是九數總和9x；只求周圍八數時才用8x。 弄錯排序後第五個數的位置：九個不同數不論由大到小或由小到大排序，第五個都是中位數，恰有四數較大、四數較小；在九宮格中就是中心數，不是角落或邊上的數。 只檢查總和，未檢查百數表位置：數值須為1至100的整數，圖形也不能跨越左右邊界。例如10與11雖相差1，卻不在同一橫列，不能視為左右相鄰。 未知數換了位置，差量卻沒跟著改：每次先寫清楚x代表哪一格，再依方向表示其他數，避免混用不同設法的公式。 記憶口訣 右加一，下加十；斜走兩步合差值。四格左上設為x，總和四x加二二。九格中心若為x，對稱配對總和九x。