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學習重點 觀察圖形時，同時記錄「圖的編號、正方形個數、竹籤總數」，找出數量之間的對應關係。 掌握相鄰正方形共用一邊的意義，分別用「逐次增加」與「扣除重複計數」推導一般項。 能說明算式中各個數字的圖形意義，尤其要區分「新增竹籤數」與「共用邊數」。 辨識費氏數列「從第三項起，每項等於前兩項之和」的遞迴規律，正確推求下一項。 核心觀念 一、從圖形數量建立數列 圖形規律題不能只看外觀，要把圖形轉成可以比較的數量。對於正方形排成一列、每增加一個正方形便與原圖共用一邊的排列，可整理如下： 圖的編號正方形個數竹籤總數比前一圖增加 114無 2273 33103 44133 竹籤總數形成4、7、10、13、……，相鄰兩項固定增加3，屬於等差數列。但申論作答不能只說「每次加3」，還要交代圖形上的原因：每個新增正方形有一邊與原圖共用，因此只須再放3根竹籤。 推導一般項前，要先確認圖的編號與正方形個數的關係。本排列中，圖n有n個正方形，因此可以直接以n表示正方形個數；其他圖形題則須重新觀察，不能一律假設兩者相同。 二、增量觀點：第一個完整算，其餘逐個加 設圖n的竹籤總數為aₙ。第一個正方形需要4根，之後每增加一個正方形需要3根。從1個正方形增加到n個正方形，共增加n－1個，所以： aₙ＝4＋3×（n－1）＝3n＋1，其中n為正整數。 算式中的4是第一個正方形所需的竹籤數；3是每新增一個正方形，實際增加的竹籤數；n－1則是第一個以外的正方形個數，也是增加的次數。 例如，排出20個正方形，第一個先用4根，再增加19次，每次增加3根，總數為4＋3×19＝61根。此處最重要的不是只算出61，而是能把「3根」與「19次」分別對應到圖形的新增部分及新增次數。 若採圖示說明，可先圈出第一個完整正方形，再將每個後續正方形新增的三邊（上、下、右三邊）標成一組。文字說明則應包含「左邊與前一個正方形共用」與「只新增三邊」，使增量的來源清楚可見。 三、重複計數觀點：先各自算，再扣共用邊 另一種想法是先把n個正方形當作彼此分開，每個各用4根，得到4n根。但相鄰正方形連接後，共用的一邊只需一根竹籤；若分別計算兩個正方形，這一邊就被計算了兩次，因此每個共用邊須扣除一次。 依本排列方式，n個正方形排成一列，共有n－1個共用邊，所以： aₙ＝4n－（n－1）＝3n＋1。 排出20個正方形時，先算4×20，表示20個正方形各用4根；再扣除19個共用邊造成的重複計數，得到4×20－19＝61根。這裡的19代表共用邊的個數，也就是多算的竹籤根數。 比較項目增量觀點重複計數觀點 計數起點先算第一個正方形先把所有正方形分開計算 圖形依據每新增一個只增加3根每個共用邊多算1根 一般項4＋3×（n－1）4n－（n－1） n－1的意義新增正方形的個數（增加的次數）共用邊的個數 圖20的算式4＋3×19＝614×20－19＝61 兩個算式化簡後都是3n＋1，表示它們計算的是同一個總量，但計數方法與各數字的意義不同。解釋學童想法時，應沿著原算式的結構說明，不能只寫兩式相等，或只報出相同答案。 四、費氏數列：由前兩項產生下一項 以1、1起始的費氏數列，其規則是：從第三項起，每一項都是前兩項的和。若以aₙ表示第n項，可寫成： a₁＝1，a₂＝1；當n≥3時，aₙ＝aₙ₋₁＋aₙ₋₂。 例如1＋1＝2、1＋2＝3、2＋3＝5。判斷下一項時，直接取目前最後兩項相加：若末兩項是144、233，則下一項為144＋233＝377。 這是遞迴規律，表示後面的項由前面的項產生；與竹籤數列每次固定增加3的規律不同。求費氏數列的下一項，掌握前兩項相加即可，不必另外推導直接用n計算的公式。 常考陷阱 把增量3說成正方形有3條邊：正方形仍有4條邊；3表示其中一邊已與原圖共用，只須新增3根竹籤。 寫成4＋3n：第一個正方形已包含在4根之中，後續只增加n－1次。可代入n＝1檢查，正確公式應得到4。 寫成4n：這是把各正方形分開計算，尚未扣除共用邊造成的重複計數。 寫成4n－n：本排列有n個正方形，但只有n－1個共用邊；不能把正方形個數當成共用邊數。 每個共用邊扣掉2根：分開計數時，共用邊被算兩次，實際仍須保留一次，所以只扣掉多算的1根。 只化簡公式，沒有解釋想法：教材教法申論重視數字與圖形的對應。應明確說出先算什麼、增加或扣除什麼，以及原因。 看到正方形相連就套3n＋1：公式取決於排列方式，須先確認每次恰好新增一個正方形且只共用一邊；排列方式改變時，共用邊數也可能改變。 把費氏數列當成固定加數或固定倍數：它不是每次加同一個數，也不是每次乘同一個數。求下一項要取最後兩項相加，不能只將最後一項加倍。 記憶口訣 竹籤增量：「首個用四根，之後每個加三根；加的次數是n減一。」 共邊扣重：「先乘四，再扣重；一條共邊扣一根。」 費氏規律：「前兩項相加，下一項到家。」