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學習重點 以「後一項減前一項」判斷等差數列，公差必須與項的位置無關。 每一項都加上同一常數，只改變各項的值，公差維持不變。 每一項都乘以同一常數，公差也乘以該常數；先倍乘再加常數，仍依相同原則判斷。 每一項平方後，通常不再是等差數列，不能直接把原公差平方。 分清楚「固定常數」與「隨項次改變的量」，並留意公差為零的特殊情形。 核心觀念 一、判斷起點：相鄰兩項之差是否固定 設 a₁、a₂、a₃、……、aₙ 為公差為 d 的等差數列，表示每一組相鄰兩項都滿足： aₖ₊₁ − aₖ＝d，其中 k＝1、2、……、n−1。 遇到數列變換，不必先求出首項或每一項，也不必使用級數和公式。只要將新數列的「後一項減前一項」算出來，再檢查結果是否固定，就能同時判斷它是不是等差數列，以及公差是多少。 等差數列的一般項為 aₖ＝a₁＋(k−1)d。公差可以是正數、負數或零；公差為零的常數數列，也是等差數列。 二、每項加上固定常數：公差不變 若 bₖ＝aₖ＋q，其中 q 是固定常數，則： bₖ₊₁ − bₖ＝(aₖ₊₁＋q)−(aₖ＋q)＝aₖ₊₁−aₖ＝d。 因此，新數列仍為等差數列，公差是 d。原因是相減時，兩項中的相同常數會抵消。每項減去同一常數，也有相同結論。 例如原數列為 2、6、10，公差為 4；每項加上 3 後成為 5、9、13，公差仍為 4。「每項增加多少」與「相鄰兩項相差多少」是不同概念。 三、每項乘以固定常數：公差同比倍乘 若 cₖ＝paₖ，其中 p 是固定常數，則： cₖ₊₁ − cₖ＝paₖ₊₁−paₖ＝p(aₖ₊₁−aₖ)＝pd。 所以新數列仍為等差數列，公差為 pd。例如每項乘以 2，公差就變成 2d（2、6、10 乘以 2 得 4、12、20，公差由 4 變為 8）。若每項除以固定的非零數 r，公差則變成 d/r。 倍數可以是負數或零。若 p＝−1，公差變為 −d；若 p＝0，各項全變成零，公差也為零。不要將「倍乘」誤認為一定讓數列遞增，增減方向仍須由新公差的正負判斷。 四、先倍乘再加常數：統一使用 pd 若新數列為 uₖ＝paₖ＋q，其中 p、q 都是固定常數，則： uₖ₊₁ − uₖ＝(paₖ₊₁＋q)−(paₖ＋q)＝p(aₖ₊₁−aₖ)＝pd。 各項依「乘以 p，再加 q」變換後，首項為 pa₁＋q，公差為 pd。加上的 q 影響各項的值，卻不影響相鄰兩項的差。 新數列的一般項是否仍為等差數列新公差 aₖ＋3是d（不是 d＋3） 2aₖ是2d 2aₖ＋3是2d（不是 2d＋3） paₖ＋q是，p、q 為固定常數pd (aₖ)²一般不是（d≠0 且至少三項）無固定公差（不是 d²） 另一種理解方式是代入一般項：uₖ＝p[a₁＋(k−1)d]＋q＝(pa₁＋q)＋(k−1)pd，也能直接看出新首項及新公差。 五、每項平方：不能把公差直接平方 若 eₖ＝(aₖ)²，由 aₖ₊₁＝aₖ＋d 可得： eₖ₊₁ − eₖ＝(aₖ＋d)²−(aₖ)²＝2daₖ＋d²。 這個差含有 aₖ；當原數列有至少三項且 d≠0 時，相鄰差會隨位置改變。因此，平方後的數列不是等差數列，也不能宣稱新公差為 d²。 例如 1、3、5 的公差為 2，平方後為 1、9、25，相鄰差依序是 8、16，並不固定。兩個相鄰差之間又相差 8，恰為 2d²；這也說明平方後增加的幅度會改變。 特殊情形是 d＝0：原數列各項相同，平方後仍各項相同，所以仍為公差為零的等差數列。若只有兩項，則僅有一個相鄰差，不能用「兩個相鄰差不同」來排除等差性。 六、作答流程：四個選項一次判斷 寫出新數列的第 k＋1 項與第 k 項。 相減，把固定常數消去，提出共同倍數。 看結果是否為與 k 無關的定值；是定值才是等差數列，該定值即為公差。 把算出的公差與選項敘述比對，加數不應出現在公差中，平方的差不應只剩 d²。 以「每項加 3」「每項乘 2」「每項乘 2 再加 3」「每項平方」四種變換為例，只有「每項乘 2，公差為 2d」的敘述正確。 常考陷阱 「每項加 3，所以公差也加 3」：錯誤。計算相鄰差時，＋3 與 −3 抵消，公差仍為 d。 「每項先乘 2 再加 3，所以公差是 2d＋3」：錯誤。固定加數仍會抵消，只有乘數保留下來，新公差是 2d。 「每項平方，所以公差是 d²」：錯誤。平方差為 2daₖ＋d²，不能漏掉 2daₖ。一般而言，兩數平方的差不等於兩數差的平方。 「平方後一定不是等差數列」：說得過於絕對。須留意 d＝0 的常數數列；要用相鄰差變化排除等差性，也須有至少三項。 符號名稱撞名：題目可能把新數列命名為 dₖ（如 dₖ＝2aₖ＋3），這裡的 dₖ 是新數列的第 k 項，與原公差 d 無關，不要混淆。 把固定加數與項次混為一談：aₖ＋3 的公差是 d，但 aₖ＋3k 的公差是 d＋3，因為 3(k＋1)−3k＝3。同理，2aₖ＋3 的公差是 2d，2aₖ＋3k 才是 2d＋3。 相減時忘記括號或減號分配：計算 (2aₖ₊₁＋3)−(2aₖ＋3)，後面整個括號都要相減，展開後應為 2aₖ₊₁＋3−2aₖ−3。 只看特例就認定一般敘述成立：某個說法即使在 d＝0 時成立，也未必適用所有等差數列。判斷普遍成立的敘述，應以代數推導為主；要推翻錯誤敘述，則可找一個反例。 記憶口訣 「同加同減差不變，同乘同除差跟變；平方先算相鄰差，固定才算等差列。」 作答順序記住：寫後項、減前項、消常數、看定值。看到 paₖ＋q，立即想到新公差 pd；看到平方，回到相鄰差重新檢查。