阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 辨認等差數列，掌握首項、公差、末項與項數的關係，尤其注意「間隔數」比「項數」少一。 熟用等差級數求和公式，以「首末項的平均×項數」計算座位總數、練習總量等累計數量。 將「至少、互不相同、最多」轉成最低需求量的不等式，並檢查多一人時是否超過總量。 區分每次變化量與累計變化量，先找共同時間與共同數值，再反推起始值。 利用奇數項等差數列的中間項求總和，理解中間項同時也是全體各項的平均數。 核心觀念 一、等差數列：先確認固定差，再求項數 一串數若相鄰兩項的差固定，就是等差數列。設首項為 a、公差為 d、第 n 項為 aₙ，則： aₙ＝a＋(n－1)d。 從首項走到末項，需要經過 n－1 個間隔，所以已知首項、末項與非零公差時，可改寫為： n＝(末項－首項)÷公差＋1。 例如，某排列由 12 開始，每次增加 3，到 30 為止；首末差除以公差得到 6，代表有 6 個間隔，因此共有 7 項。求排數、天數或人數時，都要確認自己算出的是「間隔」還是「項數」。 若數列依序遞減，公差應取負值；只要首末項的順序與公差方向一致，公式仍然適用。算出的項數應為正整數，否則須重新檢查資料是否能組成所述的等差數列。 二、等差級數：以首末平均乘項數 「等差數列」指依序排列的各項；「等差級數」則是把這些項相加。前 n 項和記為 Sₙ，基本公式為： Sₙ＝n(a＋aₙ)÷2＝n[2a＋(n－1)d]÷2。 這個公式來自首尾配對：第一項加最後一項、第二項加倒數第二項，各組的和都相同。因此，整串數的平均數就是首末項的平均，再乘項數便是總和。 已知條件計算方式判斷重點 首項、末項、公差先求 n，再算 n×(首項＋末項)÷2項數須包含首尾兩項 首項、公差、項數直接算 n[2a＋(n－1)d]÷2末項比首項多 n－1 次公差 從 1 加到 nn(n＋1)÷2首項為 1、公差為 1 2＋4＋……＋2n（偶數連加）2×n(n＋1)÷2＝n(n＋1)先提出公因數 2 座位排列：「前排皆比後排少 d 個座位」意思是由最前排往後，每排多 d 個，即首項為最前排座位數、公差為 d、末項為最後排座位數。應把「每排座位數」視為一項；先由首末排的座位差求排數（差÷公差＋1），再以「排數×(首排＋末排)÷2」求全部座位。不能把座位增加的次數直接當成排數。 每日練習量：若每日練習量依序為 2、4、6、……，可看成公差為 2 的等差數列，也可提出公因數 2，寫成 2×(1＋2＋……＋n)。計算完整一週的總量時，星期一到星期日七天都要納入，項數是 7；若計畫每週重新開始，跨週時不能把每日數量一直延續增加。只求完整一週的總和，也不必另外判定開始日是星期幾。 三、最多分給幾人：先算最低需求 設共有 T 個物品，每人至少分得 m 個，而且每人的數量皆不相同。若要分給 n 人，為了讓總需求最少，應先取： m、m＋1、m＋2、……、m＋n－1。 因為數量是整數，將每人的分配量由小到大排列後，最少者至少為 m，次少者至少為 m＋1，依此類推。因此 n 人的最低需求為： n[2m＋(n－1)]÷2，並須滿足 n[2m＋(n－1)]÷2 ≤ T。 例如每人至少 3 個時，n 人最低需求為 n(n＋5)÷2；每人至少 5 個時，則為 n(n＋9)÷2。 找出符合不等式的最大正整數後，還要檢查多一人時，最低需求是否已超過 T。這樣才能證明所得人數確實是「最多」。有選項時，可直接把相鄰的候選人數代入比較最低需求，不一定要解二次方程式；也可先用 n²÷2 粗估範圍，再微調。 若最低需求恰好等於 T，表示剛好分完，該人數成立（不等式含等號）。若最低需求小於 T，可把剩餘物品全部加給原本分得最多的人，仍符合每人至少 m 個且彼此不同。因此，最低需求不必恰好等於總量，只要不超過即可。 四、累計變化：固定增減與逐次增減要分開 設經過 t 秒。每秒固定增加 r 的數值，可寫成「起始值＋rt」；每秒固定減少 s，則寫成「起始值－st」。兩者相遇時，先令兩個式子相等，求出共同時間，再代回求共同數值。 例如，甲從 10 開始每秒加 4，乙從 100 開始每秒減 6：10＋4t＝100－6t，得 t＝9，共同數值為 46。 若另一個數值在第一秒減少 1、第二秒減少 2，依此類推，第 t 秒的減少量雖是 t，但經過 t 秒的累計減少量為： 1＋2＋……＋t＝t(t＋1)÷2。 因此，若經過 t 秒後到達共同數值 V，原來的起始值就是V＋t(t＋1)÷2。以上例延伸，若丙也在第 9 秒到達 46，丙的起始值為 46＋9×10÷2＝91。解題順序是「先求時間、再求相遇值、最後加回累計減少量」。以整秒更新為題意時，也要確認求得的時間是正整數。 五、奇數項的中間項：一項即可決定總和 若等差數列共有奇數項 n＝2k＋1，正中央是第 k＋1 項，也就是第 (n＋1)÷2 項。以中間項為中心，左右對稱的兩項相加，都等於中間項的兩倍，因此： 總和＝項數×中間項。 例如，共有 9 項的等差數列，其中間項是第 5 項；若中間項為 8，總和就是 9×8＝72，不必先求首項、公差或末項。 若項數為偶數，便沒有單獨一個正中央的項；此時可用中央兩項的平均作為全體平均，再乘項數。不可任選中央其中一項直接相乘。 常考陷阱 項數漏加一：「首末差÷公差」只算出間隔數。遇到首末排、首末天均包含在內的情境，還要加一；漏加一常會得到比正確答案少一項的總和。 求和漏除以二：首項加末項是配對的和，並非平均數；總和應為「項數×首末和÷2」。 看錯增減方向：「前排比後排少」表示越後面越多，首項是前排、末項是後排；方向弄反雖不影響總和，但要確保首末項與公差配對正確。 用總量除以最低分配量：這只考慮每人至少多少，忽略「彼此不同」；必須改用連續整數排列求最低需求。 把不等式當成等式，或誤排除等號：最低需求不超過總量即可行；剛好等於總量也成立，不要因此多算或少算一人。 只確認某個人數可行：能分給這些人不代表已達最多，還須驗證再多一人便超過總量。 把末次變化當累計變化：第 t 秒減少 t，不代表總共只減少 t；也不是每秒都減少 t 而得到 t²，應加總各秒的減少量 t(t＋1)÷2。 忽略起始時刻：開始時是 t＝0，經過 t 秒才累計 t 次變化；不要額外多算一次。 反推起始值時用錯方向：原先一路減少，回推時就要加回累計減少量；若誤用減法，會落在與正確值相差兩倍累計量的錯誤選項。 混淆項的位置與項的值：中間項的項次用來定位，求和時乘的是該項的數值；且須先確認總項數為奇數。誤用「項數×中間項÷2」或「(項數＋1)×中間項」都是常見錯誤選項。 記憶口訣 求項數：末減首、除公差，最後記得再加一。求總和：首末相加乘項數，除以二才是總數。求最多：連續排出最低量，剛好可以、多一就超。逐次減：每次不同要累加，反推原值再加回。奇數項：項數乘中央，總和立刻算。