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學習重點 掌握三角形的三個內角皆大於0°，且內角和為180°，能將角度條件轉換為不等式。 知道鈍角三角形恰有一個鈍角；若已知角度由大到小排列，最大角就是鈍角。 利用「兩個較小角的和小於90°」與角度大小次序，推導最小角必小於45°。 分辨「恆真」與「可能成立」：恆真敘述必須適用於所有符合條件的三角形，不能只憑一組角度判斷。 注意範圍端點與嚴格不等號，避免把「小於」誤判成「可以等於」。 核心觀念 一、先把題意整理成三個條件 設三角形的內角為∠A、∠B、∠C，且∠A＞∠B＞∠C。解題時應同時使用以下條件： 內角為正：∠A、∠B、∠C皆大於0°。 內角和固定：∠A＋∠B＋∠C＝180°。 角度有嚴格次序：∠A是最大角，∠B是中間角，∠C是最小角，而且三角皆不相等。 若再加上「鈍角三角形」，就知道其中有一個內角大於90°。三角形不可能同時有兩個鈍角，否則這兩角的和便超過180°。因此，鈍角必為最大角∠A，故∠A＞90°。 二、由最大角是鈍角，求出其餘兩角的和 利用內角和可得：∠B＋∠C＝180°－∠A。由於∠A＞90°，因此： ∠B＋∠C＜90°。 這是推導本單元角度範圍的關鍵。它表示兩個較小角的總和小於90°，所以∠B與∠C都必須是銳角；但不能因此認為兩角各自都小於45°。兩個數的和小於90°，仍可能一個大於45°，另一個小於45°。 三、結合大小次序，推導最小角的範圍 因為∠B＞∠C，所以∠B＋∠C＞2∠C。再結合兩角和小於90°，得到： 2∠C＜∠B＋∠C＜90°，所以∠C＜45°。 也可以用平均數理解：∠C是兩個較小角中更小的一個，所以必小於這兩角的平均數；而兩角和小於90°，平均數便小於45°。因此，最小角必小於45°。 另一種判斷方式是反證：若∠C大於或等於45°，由∠B＞∠C可知∠B＞45°，兩角和就會大於90°，與鈍角三角形的條件矛盾。因此，45°不能取到。 四、三個內角各自能確定的範圍 內角位置在鈍角且∠A＞∠B＞∠C時的範圍判斷依據 最大角∠A90°＜∠A＜180°∠A為鈍角；其餘兩角皆為正，因此∠A小於180°。 中間角∠B0°＜∠B＜90°∠B為正，且∠B小於∠B＋∠C，而兩角和小於90°。 最小角∠C0°＜∠C＜45°∠C小於兩個較小角的平均數，而該平均數小於45°。 表中是各角分別可能出現的範圍。選取三個角度時，仍須同時符合內角和180°及大小次序，不能只看每個角是否落在表列範圍內。 由表可知，三個角中只有最小角有一個比90°更緊的固定上界（45°）；最大角只能確定大於90°，中間角只能確定小於90°，與100°、60°這類數字都沒有必然的大小關係。 五、分清一般三角形與鈍角三角形 若只有∠A＞∠B＞∠C，沒有鈍角條件，仍可由內角和推出∠A＞60°、∠C＜60°。因為若最大角不超過60°，三角和便小於180°；若最小角不小於60°，三角和便大於180°。 加入鈍角條件後，最大角的下界提高為90°，最小角的上界則縮小為45°。最小角小於45°，是同時運用鈍角條件與角度次序得到的結果。 常考陷阱 一、把鈍角的界線誤記成100° 鈍角的定義是大於90°且小於180°，並沒有以100°為界。最大角可以小於100°，也可以等於或大於100°。例如三角為95°、50°、35°，以及110°、40°、30°，都符合鈍角且角度由大到小排列的條件。因此，「最大角必大於100°」與「最大角必小於100°」都不是恆真敘述。 二、誤認中間角必小於60° 三角形內角的平均數為60°，不代表中間角一定小於60°。例如三角為100°、65°、15°，內角和為180°，符合鈍角與嚴格大小次序，但中間角為65°。因此，中間角小於60°可能成立，卻不是必然成立；它也可能等於60°（如100°、60°、20°）。 三、把最小角的限制套到中間角 由∠B＋∠C＜90°，只能先確定兩角都小於90°。必須再用∠B＞∠C，才能推出較小的∠C＜45°。例如100°、50°、30°符合全部條件，但中間角大於45°，所以不能說兩個較小角都必小於45°。 四、忽略端點與角度是否有效 ∠A＝90°會成為直角三角形，不符合鈍角條件；∠C＝45°則會使∠B＋∠C＞90°，也不成立。此外，0°不能作為三角形內角。判讀選項時，必須區分「＜」與「≤」所包含的端點。 五、用一個成立例子證明恆真 證明恆真要靠一般推導；否定恆真只需一個有效反例。檢查反例時，應確認三角皆為正、總和為180°、最大角大於90°，並符合指定的嚴格大小次序。只要其中一項不符合，就不能用來推翻選項。 六、常見敘述快速判斷 敘述類型是否恆真判斷關鍵或反例 最大角＞100°否95°、50°、35° 最大角＜100°否110°、40°、30° 中間角＜60°否100°、65°、15° 最大角＞90°是鈍角必為最大角 最小角＜45°是2∠C＜∠B＋∠C＜90° 記憶口訣 「最大鈍，餘和小於九十；最小再折半，必小於四十五。」 作答順序：先找最大角，再扣內角和，最後利用大小次序比較兩個較小角。