阿摩線上測驗
登入
阿摩線上測驗
登入
學習重點 掌握三角形內角和為180°，能由已知角求未知角，並判斷角度條件是否可能成立。 理解三角形最大內角的範圍為60°以上、180°以下，其中60°可以取到，180°不能取到。 運用「兩內角和＝180°－另一內角」，判斷「任意兩角和都大於90°」所對應的三角形種類。 分辨內角、外角與鄰補角，熟用外角等於兩個不相鄰內角和，以及每個頂點各取一個外角時的外角和360°。 遇到含延長線、分割角的圖形，先確認共線與角的位置，再列式求角；只要求角度和時，可優先合併計算。 核心觀念 一、三角形內角和與最大內角 設三角形的三個內角為A、B、C，則A＋B＋C＝180°，且每個內角都大於0°、小於180°。這是求角度及判斷三角形種類的基本依據。 設最大內角為M，因為其餘兩角都不大於M，所以180°＝A＋B＋C≤3M，得到M≥60°。也可以反過來想：如果三個角都小於60°，總和就會小於180°，不可能形成三角形。 因此，最大內角的完整範圍是60°≤M＜180°。當M＝60°時，其餘兩角也都不能超過60°，又必須合計120°，所以三角形的三個角都是60°，為正三角形。 最大內角可以是銳角、直角或鈍角。例如三內角分別為50°、60°、70°時，最大角小於90°；為30°、60°、90°時，最大角等於90°；為30°、40°、110°時，最大角大於90°。因此，不能單憑「最大內角」就斷定它一定大於或小於90°。 關於最大內角的敘述是否一定成立判斷關鍵 不能小於60°（即≥60°）一定成立三角都小於60°時總和不足180° 大於60°且小於180°不一定正三角形的最大內角恰為60° 大於90°不一定銳角、直角三角形皆不符合 小於90°不一定直角、鈍角三角形皆不符合 二、用兩角和判斷角度分類 由內角和可改寫成A＋B＝180°－C。因此，兩角和與90°的大小關係，完全由剩下的一個角決定。 剩下的一個內角C另外兩個內角和A＋B判斷依據 C＜90°A＋B＞90°180°減去小於90°的角 C＝90°A＋B＝90°180°－90°＝90° C＞90°A＋B＜90°180°減去大於90°的角 「任意兩角」是指三種配對都要成立，也就是A＋B、B＋C、C＋A都大於90°。將每一組改寫後，就分別得到C＜90°、A＜90°、B＜90°，所以此條件等價於三個內角都是銳角，即銳角三角形。 三角形種類內角特徵是否保證任意兩角和都大於90° 銳角三角形三個內角都小於90°是，每組都符合 直角三角形有一個內角等於90°否，兩個銳角的和恰為90° 鈍角三角形有一個內角大於90°否，另外兩個銳角的和小於90° 等腰三角形至少有兩邊相等，對應的兩角相等不一定，仍須檢查內角大小 「銳角、直角、鈍角」是按角度分類；「等腰」是按邊長關係分類。兩種分類可以同時成立，例如等腰直角三角形的內角為45°、45°、90°，其中兩角和只有90°，便不符合「都大於90°」；等腰鈍角三角形如30°、30°、120°，兩底角和只有60°，也不符合。 三、內角、外角與鄰補角 將三角形的一邊延長，延長線與相鄰另一邊所形成、並與該頂點內角相鄰的角，就是三角形的外角。同一頂點的內角與相鄰外角互為鄰補角，和為180°，所以外角＝180°－相鄰內角。 每個頂點其實可延長兩邊得到兩個外角，但這兩個外角互為對頂角、度數相等，所以題目說「∠A的外角」時，度數是確定的。 設A的相鄰外角為E，則E＋A＝180°；又因A＋B＋C＝180°，可得E＝B＋C。這就是「三角形的一個外角，等於兩個不相鄰內角的和」。由於B、C都大於0°，外角也一定分別大於這兩個不相鄰內角。 計算時要辨清「相鄰」與「不相鄰」：求外角可以用180°減去相鄰內角，也可以加總另兩個頂點的內角；不能把外角與相鄰內角當成相等。 外角大小也能反映內角類型：內角為銳角時，相鄰外角為鈍角；內角為直角時，外角也是直角；內角為鈍角時，外角為銳角。 四、三角形的外角和 在三角形每個頂點各取一個與內角相鄰的外角，設為E、F、G，則： E＋F＋G＝（180°－A）＋（180°－B）＋（180°－C）＝540°－180°＝360°。 因此，已知其中兩個外角時，未知外角＝360°－已知的兩外角。也可以先將已知外角轉成內角，再用內角和求出剩下的內角，最後轉回外角；兩種方法結果應相同，直接使用外角和通常較省步驟。 例：若兩個外角為140°與100°，則第三個外角＝360°－140°－100°＝120°。驗算：兩外角對應內角為40°、80°，第三內角＝180°－40°－80°＝60°，其外角＝180°－60°＝120°，結果一致。注意中途求出的60°是內角，不是所求的外角。 五、複合圖形與角度和的計算流程 先確認位置：辨認哪些點共線、哪些線段是延長線，以及未知角屬於哪一個三角形。不可只憑圖畫看起來像直角或等腰，就自行加入條件。 處理分割角：同一個角若被線段分成兩部分，原角等於兩部分角的和；使用內角和前，要確認代入的是完整內角。 選擇關係列式：同一三角形用內角和，同一直線上的鄰角用180°，外角則可用兩不相鄰內角和。點D、F落在同一邊上時，該邊上的點兩側形成的鄰角和為180°，常是連結小三角形的關鍵。 優先求目標的和：若只要求x＋y，可先把相關等式相加，觀察共同的中間角能否消去，不必一定分別求出x、y。 最後檢查合理性：每個內角都要介於0°與180°之間，小三角形的三內角和要回到180°，答案才可靠。 常考陷阱 把「不小於60°」誤讀成「大於60°」：不小於表示包含等號；正三角形的最大內角就是60°，足以否定「最大內角一定大於60°、小於180°」這類排除60°的敘述。 以為最大內角必定是鈍角或必定是銳角：「大於90°」、「小於90°」都只是部分三角形的情形，舉一個反例即可排除。 把「任意」看成「存在」：找出一組兩角和大於90°，不能證明每一組都符合。最快的檢查方式是找最大內角，確認它是否小於90°。 把「大於90°」當成「大於或等於90°」：直角三角形的兩個銳角和恰為90°，不符合嚴格大於的條件。 認為等腰就能保證角度條件：等腰三角形可能是銳角、直角或鈍角三角形，不能由兩邊相等直接推得三角皆為銳角。 混用內角和與外角和：三個內角和是180°；每個頂點各取一個外角的和是360°。已知外角時，不能直接套用內角和。 求出內角就停止：若最後所求是外角，還要用180°減去該內角。選項中常同時出現所求外角與其對應內角（兩者互補），作答前應重新確認所求角的位置。 把任意三個圖上的角都加成180°或360°：使用公式前，必須確認它們確實是同一三角形的三個內角，或三個頂點各取的一個外角。 記憶口訣 「內和一八○，外和三六○；內外相鄰補，外等遠內和。」「遠內」指兩個不相鄰的內角。 「最大至少六十度，兩角相加看剩角；任兩都要過九十，三角個個須為銳。」