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學習重點 先確認比較條件：相同長度的繩子完整圍成圖形，沒有重疊也沒有剩餘，表示圖形的周長相同，不是邊長、半徑或面積相同。 用共同周長表示面積：設周長為 L，先求正三角形的邊長、正方形的邊長與圓的半徑，再代入面積公式。 掌握大小順序：周長相同時，圓的面積＞正方形的面積＞正三角形的面積。 申論須寫出比較理由：不能只寫「圓的面積最大」。應列出兩個面積式，再用作差、作比或比較分母完成證明。 核心觀念 一、等周長不代表等面積 周長是圖形邊界的總長度，面積是圖形內部所占平面的大小，兩者是不同的量。相同長度的繩子可以圍成不同形狀，邊界總長度一樣，內部面積仍可能不同。 設每條繩長皆為 L 公尺，且 L＞0。繩子分別完整圍成正三角形、正方形與圓時，三者的周長都等於 L。比較面積的關鍵，是把各圖形的尺寸都改寫成 L 的式子，讓比較建立在同一個條件上。 例如，正方形有四條等長的邊，所以每邊長為 L／4。圓的周長是 2πr，所以半徑為 L／（2π）。兩者雖然共用周長 L，正方形邊長卻不能直接當成圓的半徑。 二、由共同周長推導各圖形的面積 圖形由周長求尺寸面積公式以 L 表示面積係數近似值 正三角形邊長 a＝L／3面積＝√3 × a²／4√3 × L²／36約 0.048 L² 正方形邊長 s＝L／4面積＝s²L²／160.0625 L² 圓半徑 r＝L／（2π）面積＝πr²L²／（4π）約 0.080 L² 正三角形的面積公式可以由底乘高除以二推得。邊長為 a 的正三角形，高為 √3 × a／2，所以面積為 a ×（√3 × a／2）÷2＝√3 × a²／4。代入 a＝L／3，即得 √3 × L²／36。 計算圓面積時要注意平方的範圍：π ×［L／（2π）］²＝π × L²／（4π²）＝L²／（4π）。半徑平方時，分子與整個分母都要平方，最後才約去一個 π。 若 L 的單位是公尺，面積單位就是平方公尺。三個面積式都含有 L²，表示同一種圖形的周長放大為原來的 k 倍時，面積會放大為原來的 k² 倍。 三、等周長時的面積大小順序 三個面積都有共同的正因數 L²，所以只須比較係數 1／（4π）、1／16 與 √3／36。 圓與正方形：由 π＜4，可得 4π＜16。正數分子相同時，分母越小，分數越大，因此 L²／（4π）＞L²／16。 正方形與正三角形：比較 1／16 與 √3／36，交叉相乘後等同於比較 36 與 16√3。由 √3＜2，可得 16√3＜32＜36，因此 L²／16＞√3 × L²／36。 綜合可得：等周長時，圓面積＞正方形面積＞正三角形面積。只要三者周長相同且大於零，繩長的具體數值就不影響這個順序。 更一般的規律是：周長相同的正多邊形，邊數越多，面積越大，越來越接近圓。在周長固定的平面封閉圖形中，圓所圍成的面積最大。這個規律可以幫助記憶，但遇到指定圓與正方形的證明題，仍應利用面積公式寫出理由。 四、圓與正方形的申論證明 作答可依照「設共同周長→求尺寸→求面積→比較→下結論」的順序，讓每一步都有依據。 設兩條繩長皆為 L 公尺，L＞0。圓的半徑 r 滿足 2πr＝L，所以 r＝L／（2π）。 圓面積為 πr²＝π ×［L／（2π）］²＝L²／（4π）平方公尺。 正方形邊長為 L／4，面積為（L／4）²＝L²／16 平方公尺。 因為 π＜4，所以 4π＜16，故 L²／（4π）＞L²／16。因此，圓形的面積比正方形的面積大。 最後一步也可以用作差法：圓面積－正方形面積＝L²／（4π）－L²／16＝L²（4－π）／（16π）。由 L＞0、π＞0 且 4－π＞0，可知差為正，因此圓面積較大。 另一種方式是作比法：圓面積／正方形面積＝［L²／（4π）］÷［L²／16］＝4／π＞1，因此圓面積較大。申論時選一種方法完整寫出即可，不必把所有比較方法都列出。 證明中務必寫出「L＞0」與「π＜4」（π 約為 3.14）這兩個依據，結論句也要明確寫出「圓形的面積比正方形的面積大」。 常考陷阱 把順序整個顛倒：選項常把「正三角形＞正方形＞圓」放在第一個，是最常見的錯誤寫法。要記得等周長時圓最大、正三角形最小。 字母與圖形對應錯誤：題目常用字母代表面積，例如正三角形為 A、正方形為 B、圓為 C。先把字母對回圖形，再依「圓＞正方形＞正三角形」排列，可得 C＞B＞A。 把「等周長」誤判為「等面積」：邊界一樣長，不能推出內部面積一樣大。遇到「繩長相同，所以面積相同」的敘述，應以面積公式檢查。 比較條件偷偷換成邊長或半徑相同：本單元比較的是共同周長 L。正三角形邊長為 L／3，正方形邊長為 L／4，圓半徑為 L／（2π），不能任意設成相同數值。 認為邊長較長就一定面積較大：等周長時，正三角形的單邊比正方形長，面積卻較小。不同形狀不能只憑一條邊的長度判斷面積。 圓周長公式混用半徑與直徑：圓周長＝2πr＝πd。L／π 求出的是直徑，不是半徑。代入 πr² 前必須確認所求尺寸。 平方或約分錯誤：（L／4）²＝L²／16，不能寫成 L²／4。［L／（2π）］²＝L²／（4π²），也不能漏掉 π 的平方。 分母大小判斷反向：因為 4π＜16，所以 1／（4π）＞1／16。正數分子相同時，分母較小者較大。 申論只寫結論或只畫圖：圖形外觀只能輔助理解，不能代替證明。要寫出共同周長下的兩個面積式，再明確說明大小關係，才構成完整理由。 記憶口訣 「同周比面積，圓大、方次、正三小。」其中「方」指正方形，「正三」指正三角形。 「邊數越多越像圓，面積越大。」周長相同時，正三角形＜正方形＜圓。 「先周長，求尺寸；代面積，再比較。」圓與正方形的面積分別記住 L²／（4π）及 L²／16，再用 π＜4 判斷大小。