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學習重點 熟記畢氏定理。先辨認直角與斜邊，再用「兩股平方和＝斜邊平方」求長度。 理解相似圖形的面積與對應邊長平方成正比，掌握三邊上等腰直角三角形的面積關係。 會利用鳶形的垂直對角線，以及長方形的對邊相等、對角線相等，把圖形拆成可套用畢氏定理的直角三角形。 掌握翻摺前後的對應邊與對應角，以及摺痕上的點到原點、像點等距的性質。知道「平行線＋翻摺」會形成等腰三角形。 能以「同一總面積，扣掉相同部分」寫出完整的畢氏定理面積證明。 核心觀念 一、畢氏定理：先找直角，再認斜邊 直角三角形中，若兩股為 a、b，斜邊為 c，則a²＋b²＝c²。斜邊是直角所對的邊，也是三邊中最長的一邊。判斷斜邊時看直角位置，不要看圖形畫得斜不斜或擺放方向。 求斜邊：c＝√（a²＋b²）。 求一股：a＝√（c²－b²）。根號內必須非負，幾何長度取正值。 圖中沒有直接標示直角時，應先由垂直、長方形、作高或鳶形對角線等條件確認直角。 常用的整數直角三角形邊長有 3、4、5，以及 5、12、13。各邊同乘一個正數後，仍是直角三角形，例如 10、24、26 滿足 10²＋24²＝26²。使用前必須確認這些數值是同一個三角形的兩股與斜邊，不能只因數字熟悉就直接套用。 二、三邊上的等腰直角三角形：面積直接相加 以長度 s 的線段為斜邊作等腰直角三角形，設股長為 t，則 2t²＝s²，所以面積為 t²÷2＝s²÷4。也就是說，這類三角形的面積等於斜邊長平方乘以固定係數 1／4。 設原直角三角形兩股為 a、b，斜邊為 c。分別以三邊為斜邊作等腰直角三角形，對應面積依序為 z、y、x，則： x＝c²／4＝（a²＋b²）／4＝z＋y。 所以原斜邊上所作三角形的面積，等於兩股上所作三角形的面積之和。這裡相加的是面積本身，不需要再把面積平方。 作圖方式以指定邊長 s 表示面積判斷重點 以 s 為斜邊作等腰直角三角形s²／4兩股均為 s／√2 以 s 為一股作等腰直角三角形s²／2另一股也是 s 以 s 為邊作正方形s²面積係數為 1 更一般地說，若三邊上所作的圖形彼此相似，且原三角形的三邊是這些相似圖形的對應邊，則面積都可寫成同一常數 k 乘以邊長平方，因此 kc²＝ka²＋kb²。三種作法只要一致，無論以邊為斜邊或為股，結論都是「斜邊上的面積＝兩股上的面積和」。若三個圖形的作法不同，就不能直接使用這項結論。 三、圓內的垂線：以半徑為斜邊 O 為圓心、A 在圓上時，OA 就是半徑。從 A 向兩條互相垂直的半徑作垂線，垂足為 B、C，則四邊形 OBAC 的四個角都是直角，所以它是長方形，可得以下兩個性質： 對邊相等：OB＝AC、OC＝AB。 對角線相等：OA＝BC。題目若給 BC 的長，半徑 OA 就等於 BC，不必另外計算。 在直角三角形 OBA 中，OA 是斜邊，所以 OA²＝OB²＋AB²。再用對邊相等把 OB 換成 AC，可寫成： OA²＝AB²＋AC²＝BC²，所以 OA＝√（AB²＋AC²）＝BC。 解題時先把已知線段轉移到同一個直角三角形，再列式。題目要半徑平方時算到平方和即可；要半徑時，最後才開根號。 四、鳶形：對角線垂直，但只有指定的一條被平分 設鳶形 ABCD 中，AB＝AD、CB＝CD，對角線 AC、BD 交於 E。由兩組鄰邊相等可知，AC 是 BD 的垂直平分線，所以AC 垂直 BD，且 BE＝DE＝BD／2。 這不代表 AE＝CE。計算時要先辨認被平分的是哪一條對角線，再在小直角三角形中使用： AE²＋BE²＝AB²。 CE²＋BE²＝CB²。 一般凸鳶形中，E 位於 AC 上，所以 AC＝AE＋CE。 若已知的是完整對角線 BD，代入小三角形之前必須先除以 2。求鳶形面積時，因為對角線互相垂直，面積＝AC×BD÷2，這裡代入的是兩條完整對角線，不是交點到頂點的半段。 五、摺紙：先標等長，再設未知數 翻摺可視為以摺痕為對稱軸的鏡射，翻摺前後的圖形全等，對應線段長與角度都不變。若 C 摺到 A、D 摺到 G，則原線段 CD 對應翻摺後的 AG，所以 CD＝AG。原來是直角的角，翻摺後的對應角仍是直角。 摺痕上的點保持不動。若 E、F 在摺痕上，因 C 與 A 互為對應點，所以EC＝EA、FC＝FA，而且摺痕是 CA 的垂直平分線。 長方形將對角頂點摺合的固定結論：設長方形 ABCD 的 AB＝w、BC＝l，將 C 摺到 A，摺痕 EF 中 E 在 BC 上、F 在 AD 上。 求 AE：設 BE＝t，則 AE＝EC＝l－t。在直角三角形 ABE 中，w²＋t²＝（l－t）²，解得 t＝（l²－w²）／（2l），所以 AE＝（l²＋w²）／（2l）。 △AEF 是等腰三角形：AD∥BC，所以 ∠AFE＝∠FEC（內錯角）。翻摺後 ∠FEC＝∠AEF，因此 ∠AFE＝∠AEF，得 AF＝AE。另外 △ABE 與 △AGF 全等，也能得到同樣結論。 求面積：以 AF 為底時，F 到 A 的連線在 AD 上，高就是長方形的寬 AB，所以 △AEF 面積＝AF×AB÷2＝AE×w÷2。 結果常是分數，不一定是整數。一般解題流程如下： 整理長方形的對邊相等、四角皆為直角等條件。 標出翻摺前後的對應等長線段，避免把不同位置的線段混為一談。 設一段長為 t，同一直線上的其餘線段用「全長－t」表示。 選定確實含有直角的三角形，用畢氏定理列方程，並檢查解是否落在合理範圍。 求三角形面積時，使用一組互相垂直的底與高，計算「底×高÷2」。 兩條已知長度若沒有夾直角，不能直接相乘再除以 2。圖上沒有標示的線段，也不能只憑數值猜它是長、寬或斜邊。 六、面積證明：同樣大的正方形，扣除相同三角形 典型拼圖用四個全等直角三角形，兩股為 a、b，斜邊為 c。每個三角形面積是 ab／2，四個合計為 2ab。外圍大正方形邊長為 a＋b，總面積為（a＋b）²。 一種排法在中央留下邊長 c 的正方形，所以： （a＋b）²＝4×（ab／2）＋c²。 另一種排法留下邊長分別為 a、b 的兩個正方形，所以： （a＋b）²＝4×（ab／2）＋a²＋b²。 兩個大正方形大小相同，總面積相等，而且都扣掉四個相同的三角形，所以c²＝a²＋b²。只用第一式也可以：展開得 a²＋2ab＋b²＝2ab＋c²，同樣得到 a²＋b²＝c²。 申論作答還要說明中央圖形為何是正方形：四邊都是 c，而每個內角加上兩旁直角三角形的兩個銳角合成平角，兩銳角互餘，所以該內角為 180°－90°＝90°。不能只說「看起來是正方形」，也不能先用待證的畢氏定理去推面積，那會造成循環論證。 常考陷阱 把面積再平方：x、y、z 已經是面積，正確關係是 x＝y＋z。x²＝y²＋z² 是把邊長的平方關係誤套到面積上；x＞y＋z 或 x＜y＋z 也都不對。 斜邊認錯：斜邊是直角對面的邊。求股長用平方相減，求斜邊用平方相加。 混淆作圖條件：「以一邊為斜邊」與「以一邊為股」的面積係數不同，計算面積前要先讀清楚。 忽略長方形對角線相等：圓內作垂線形成的長方形，BC 與半徑 OA 是兩條對角線，長度相等。 把鳶形當成兩條對角線互相平分：一般只能確定其中一條平分另一條。使用一半長度之前，要確認被平分的是哪一條。 翻摺後任意配對等長：只能比較對應線段，或使用摺痕上的點到原點、像點等距。不能把圖上看起來相近的線段都設成相等。 摺紙求面積用錯底高：△AEF 的兩邊 AE、EF 並不垂直，不能相乘除以 2。應利用 AF＝AE，以 AF 為底、長方形寬為高計算。 面積證明漏掉理由：要說明總面積相同、扣除部分相同，以及剩餘區域的面積，只寫結論不算完成證明。 答案形式錯誤：線段長用長度單位，面積用平方單位。答案保留分數或根號，避免提早取近似值造成誤差。 記憶口訣 「先找直角認斜邊，兩股平方加一邊；相似面積看平方，摺痕兩側對應長；平行一摺成等腰，總量相同扣相同。」