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學習重點 具體運思期約為7至11歲，兒童能對具體事物進行邏輯思考。他們已具備推理能力，但推理仍需要看得見、摸得到或能實際操作的經驗支持。 本階段的重要思考特徵包括守恆（保留概念）、序列化、分類（含類包含）、可逆思考、去集中化、遞移推理。兒童會逐漸去自我中心，能同時考慮問題的多個面向。 形式運思期（約11、12歲以後）的重要特徵是抽象思考、假設—演繹推理、命題思考與系統性推理，能處理「如果……則……」的可能性問題。 要能分辨前運思期的特徵，例如萬物有靈、自我中心、集中化（只看單一面向）、欠缺可逆性、缺乏守恆，以免把它們誤選為具體運思期的特徵。 教學應依學生的發展層次調整。先以數棒條、圓形切片等具體操作物建立概念，再逐步連結抽象符號；對發展落後的學生，要提供符合其運思層次的學習鷹架。 核心觀念 一、皮亞傑認知發展階段的定位 比較項目 前運思期（約2至7歲） 具體運思期（約7至11歲） 形式運思期（約11、12歲以後） 思考對象 受知覺外觀主導 具體事物、可觀察情境、實際操作 抽象概念、符號、命題、假設情境 推理方式 直覺式，尚未形成邏輯運思 能對具體事物進行邏輯思考 能進行抽象、假設—演繹、系統性推理 典型表現 自我中心、自我中心語言、萬物有靈、集中化、欠缺可逆性、缺乏守恆 守恆、序列化、分類、類包含、去集中化、可逆思考、遞移推理、逐漸去自我中心 抽象思考、假設—演繹推理、命題思考、系統性嘗試各種組合 教學原則 具體經驗、遊戲與操作 操作、觀察、比較、排列、分類與實作 在具體經驗基礎上進行演繹、論證與應用 國小中年級兒童通常已處於具體運思期，所以能進行具體的邏輯推理，例如遞移推理、守恆判斷。但他們還不能熟練地以抽象符號進行代數運算或假設推理。高年級（五、六年級）學生大多正從具體運思期過渡到形式運思期，同一班級內的發展差異可能很大。 二、具體運思期的重要思考特徵 守恆（conservation，又譯保留概念）：理解事物的外觀改變時，數量、總量等性質不會因此改變。例如把同樣多的水倒入形狀不同的容器，兒童仍知道水量不變；兩團相同的黏土一團揉成球狀、一團搓成長條狀，兒童知道兩者一樣多。如果兒童認為長條狀的黏土比較多，表示尚未具備守恆，屬於前運思期的表現。 序列化（seriation）：能依長短、大小、重量等特徵，把一組事物有系統地排出順序。例如能把多根吸管依長短排好。 分類（classification）與類包含（class inclusion，又譯類別含攝）：分類是依共同屬性把事物分組。類包含是理解部分與整體的關係，例如知道「玫瑰」屬於「花」，花的數量一定不少於玫瑰。 可逆思考（reversibility）：能在心中把一個動作或運算反向進行，回到原來的狀態。例如知道3＋2＝5，也能理解5－2＝3；知道水倒回原杯子，高度會恢復原狀。可逆思考是形成守恆的重要基礎，但它指的是「能反向推回」，和「同時注意多個特徵」不同。 去集中化（decentration）：不再只憑知覺所見的片面事實，或只注意最明顯的單一特徵來判斷，而能同時注意事物的多個特徵。例如在守恆作業中，兒童除了注意到「水位變高」這個最明顯的特徵，也會注意到「杯子變窄」，兩者互相抵消，所以總量不變。凡是題目描述「除了最明顯的特徵，也能同時注意其他特徵」或「不再只憑片面知覺判斷」，答案就是去集中化。 遞移推理（transitive inference）：能依已知的兩個關係推出第三個關係。例如已知a＞b且b＞c，便能推知a＞c；或已知第一根筷子比第二根長、第二根比第三根長，即使不直接比較，也知道第一根比第三根長。遞移推理和序列化關係密切，但兩者有別：序列化是「實際把東西排好順序」，遞移推理是「由兩個關係推出另一個關係」。 此外，具體運思期兒童會逐漸去自我中心，能理解他人觀點與事物的因果關係。他們的思考雖然已合乎邏輯，但仍以具體可見的事物為限。 三、形式運思期的核心思考特徵 抽象思考：能思考看不見、摸不到的概念，並以符號代表事物或關係。例如理解代數中的未知數、比例、正義等抽象概念。 假設—演繹推理：能提出「如果……則……」的假設，依邏輯推論結果，並有系統地驗證。思考重點由「現在看到什麼」轉向「在某些條件下可能發生什麼」。 命題思考：能只依語言或符號敘述的命題進行推理，不必依賴實物，並判斷命題之間的邏輯關係。 系統性推理（組合思考）：面對問題時能有計畫地列出並檢驗所有可能的組合或變項，而不是靠隨機試誤。 作答申論題時，具體運思期與形式運思期可以各舉三項特徵。具體運思期可寫守恆、序列化、分類、可逆思考、去集中化、遞移推理中的任三項，每項附一個簡單例子。形式運思期可寫抽象思考、假設—演繹推理、命題思考、系統性推理中的任三項。 四、認知發展理論在數學教學的應用 皮亞傑主張知識是兒童透過與環境互動主動建構的。具體運思期兒童需要先有操作經驗，抽象概念才能真正被理解。因此，學生不懂抽象概念時，應先回到具體操作，不宜直接示範規則、反覆練習計算，也不宜只講解步驟讓學生模仿。 等值分數：學生不理解1/3和4/12為什麼相等時，可提供數棒條或圓形切片讓學生實際操作。例如把同樣大小的一個圓分成3份取1份，再把另一個同樣大小的圓分成12份取4份，疊在一起比較，學生就會看到兩者佔整體的大小一樣。讓學生親眼看到「整體相同，切法不同，但佔的量一樣」，之後再連結約分、擴分的符號規則。 柱體與錐體：讓學生實際把展開圖剪下、摺成立體，並把實體拆開還原成展開圖，配對面與面、邊與邊。等學生有了操作經驗，再進一步要求他們在腦中想像摺合過程，並用圖形與文字說明。 「具體」不等於讓學生隨意玩教具。操作要搭配教師的提問與概念命名，例如問：「兩個圓是不是一樣大？」「切成幾份？拿了幾份？」「疊起來大小一樣嗎？」這樣才能把動作經驗提升為數學概念。 五、依認知發展階段的差異化教學：對發展落後學生的做法 班上有些學生已能從展開圖對應到正確形狀，有些卻做不到。做不到的學生多半仍停留在具體運思期，需要依賴實物才能思考，不容易在腦中進行空間轉換。教師可依其所能達到的運思階段調整教材呈現方式與教學方法，例如： 提供具體可操作的教具：讓學生實際剪下、摺合展開圖，或拆開立體模型攤平，親手經歷「平面↔立體」的轉換。教學順序由實物操作到圖像表徵，再到抽象符號（類似「具體→半具體→抽象」的順序），不急於要求學生只憑想像作答。 提供可逐步撤除的學習鷹架：把任務拆成小步驟，例如先找底面，再找側面，最後確認邊的對應。依學生表現給予提示、示範、引導提問或部分完成的範例，也可以安排已理解的同儕協助、小組合作。學生能逐漸獨立完成後，再減少協助。 其他可寫的做法：使用動態幾何軟體或影片呈現摺合過程，增加視覺線索；以學生熟悉的生活物品（如紙盒、甜筒）作為例子；由簡單形體（正方體）逐步進到較複雜形體（各種角柱、角錐、圓錐）。 差異化教學不是降低學習目標，而是調整教材呈現方式、支援程度與學習順序。發展落後的學生需要較多具體經驗與引導；已有基礎的學生則可增加推理、論證與跨情境應用。 常考陷阱 把具體運思期誤認為「不會推理」。具體運思期兒童已能對具體事物進行邏輯思考，所以「推理思考」是具體運思期的特徵。他們還做不到的是以抽象邏輯進行假設推理，那屬於形式運思期。 把前運思期的特徵當成具體運思期。萬物有靈、自我中心語言、欠缺可逆性、傾向單一視角而難以理解因果關係、黏土搓長就覺得變多（缺乏守恆），都是前運思期的表現。「主要學習方式是模仿教師行為」也不是判斷具體運思期的依據。 看到守恆、序列化加上「同時考慮多個面向」，要選「能對具體事物進行邏輯思考」。這三項都是具體運思期的典型表現，不要誤選抽象假設推理。 去集中化與可逆思考混淆。題幹出現「除了最明顯的特徵，也能同時注意其他特徵」或「不再只憑知覺所見的片面事實判斷」，答案是去集中化。可逆思考的關鍵是「能把過程反向推回原狀」。 去集中化與序列化、分類、類包含混淆。序列化是依特徵排順序，分類是依屬性分組，類包含是理解部分與整體的關係。三者都不是「不再只憑片面知覺判斷」。 遞移推理與序列化、類別含攝、歸納推理混淆。題幹是「a＞b、b＞c，所以a＞c」或「第一根比第二根長、第二根比第三根長，所以第一根比第三根長」，答案一律是遞移推理。保留概念就是守恆，與此無關；歸納推理是從多個具體例子歸納出一般規則，也不是遞移推理。 誤以為國小中年級已能抽象思考。中年級兒童主要處於具體運思期，「能抽象思考並以符號學習代數運算」屬形式運思期，所以是錯的。「無法估計路程、空間思維分不清」低估了中年級兒童的能力，也是錯的。 學生不理解概念時，就直接教規則或先考試。直接示範約分擴分再反覆練習、先測驗公式知識再補救、講解步驟讓學生模仿，都沒有從具體經驗出發，不符合皮亞傑的觀點。正解是提供數棒條或圓形切片讓學生實際操作比較。 把發展落後解釋為能力不足而降低要求。應依學生目前的運思階段調整教材與鷹架，協助學生逐步往上發展，而不是放棄目標，也不是直接丟出超出其經驗基礎的抽象題。 記憶口訣 具體期：守序分、可逆、去集中、會遞移。（守恆、序列化、分類、可逆、去集中化、遞移推理） 形式期：抽象、假設、命題、系統。 關鍵字對應：「同時注意多個特徵／不只看片面」→去集中化；「a＞b、b＞c→a＞c」→遞移推理；「倒到別的杯子量不變」→守恆；「依長短排好」→序列化。 教學記住：先操作、再圖像、後符號；鷹架先給後撤。