標準分數與百分等級

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建立於 2026年10月15日

學習重點 熟用Z＝（X－M）／SD、T＝50＋10Z、新分數＝新平均數＋新標準差×Z，比較不同科目的相對表現。 掌握常態分配對照：Z＝1 約為 PR 84；Z＝2 約為 PR 98；T＝60、70 分別代表高於平均 1、2 個標準差。 區分量尺性質：Z、T 為等距量尺；PR 為次序量尺，表示累積人數百分比，不是得分或答對率。 辨識標準九、離差智商與量尺分數，並能將不同表示方式換到共同尺度比較。 分清標準差與測量標準誤：前者描述團體差異，後者用於估計個人真分數的可能範圍。 核心觀念 一、標準差與相對地位 標準差（SD）表示分數的分散程度。標準差大，代表學生表現差異大；標準差小，代表表現較整齊。它不能單獨表示平均成績高低，也不是個人的相對位置，因此「標準差＝7」不能拿來與某人的 Z、T 或 PR 比較高低。 不同科目的難度、平均數及分散程度可能不同，不能只憑原始分數判斷哪科表現較佳。應先轉成標準分數，比較學生在各科參照團體中的相對地位；這不等於直接證明某種能力的絕對高低。 二、Z 分數與跨科比較 Z＝（X－M）／SD。X 是個人得分，M 是平均數。Z 分數平均數為 0、標準差為 1，表示個人得分距離平均數幾個標準差。正值高於平均，負值低於平均，0 表示等於平均。計算 Z 本身不要求常態分配。 例如平均 70、標準差 10、得分 85，Z＝1.5。兩科同得 80 分，若一科平均 65、標準差 10，另一科平均 70、標準差 8，則 Z 分別為 1.5、1.25，前者相對地位較高。 比較多科的等權平均表現，應先各自轉為 Z，再取平均；也可比較 Z 的總和。例如語文與數理的平均數分別為 60、50，標準差分別為 10、15，得分 86、80 時，平均 Z＝（2.6＋2）／2＝2.3。不能直接平均原始分數來比較。 已知個人分數、母群平均數與標準差，要判斷個人位置，選用單一分數的 Z 分數，不是樣本平均數的 Z 檢定或 t 檢定。若要進一步由 Z 查出 PR，還須有常態分配假設或相應的分配資料。 三、T 分數與新量尺轉換 T＝50＋10Z；Z＝（T－50）／10。T 分數的平均數為 50、標準差為 10，所以 T＝60 是高於平均 1 個標準差，T＝70 是高於平均 2 個標準差。此處的 T 是測驗標準分數，不是 t 檢定統計量。 線性轉換成新量尺的公式為新分數＝新平均數＋新標準差×Z。例如原量尺平均 40、標準差 10，得分 30 的 Z＝－1；改成平均 50、標準差 5，新分數便是 45。 Z 與 T 都是等距量尺，相等分數差代表相等的標準差距離，但沒有絕對零點，不能說 T＝80 的能力是 T＝40 的兩倍。線性轉換會保留排序及分配形狀，不會自動把非常態資料變成常態。 魏氏智力量表常用的離差智商平均數為 100、標準差為 15。IQ＝115 對應 Z＝1，在常態假設下約勝過 84% 的同齡者。 四、百分等級與百分位數 百分等級（PR）表示某分數在參照團體中的累積人數百分比。考試通常將 PR 70 解作該分數以下約占 70%，或約勝過 70% 的人。PR 65 在 100 人團體中，約表示勝過 65 人；不是得 65 分，也不是答對 65% 的題目。 處理同分者時，常見計算方式為PR＝100×（低於該分數的人數＋同分人數的一半）／總人數。實際計算須依題目指定的同分處理方式，因此「勝過」是一般題目的簡化說法。 百分位數是分數位置，百分等級是人數百分比。例如第 80 百分位數為 70 分，表示 70 分對應 PR 80，約勝過 80% 的人；不要把 80 當成得分。 PR 屬於次序量尺，可排序，但間距不等，不能用 PR 差值解釋能力差距，也不宜直接平均 PR。常態分配中，相同的 Z 差距在中段對應較大的 PR 差距，在兩端則較小。 PR 可由排序求得，不必先知道標準差；T 的線性換算則需要平均數與標準差。有常模對照表或常態假設時，PR 與 T 可以互換，兩者均可用於智力測驗與人格測驗。 五、常態分配的換算與比較 常態分配中，平均數上下 1、2、3 個標準差內，約包含 68%、95%、99.7% 的人。這是中央區間比例，不是某一分數的 PR；PR 要算該位置左側的累積比例。 ZTPR 約值 －2302 －1.5357 －14016 05050 16084 1.26288 1.56593 1.96997 27098 Z＝2 的累積比例約為 97.7%，取整數約為 PR 98。PR 80 約對應 Z＝0.84，因此 T＝60 與 Z＝1 的相對地位相同，且均高於 PR 80。比較時統一換成 Z，數值越大，位置越靠右。 六、標準九 標準九將表現分為 1～9 等，平均數為 5、標準差約為 2。常用分組中，第 5 等介於 Z＝－0.25～0.25；中間各等寬約 0.5 個標準差，兩端則涵蓋尾端分數。 標準九 7：約為 Z＝0.75～1.25，中心約為 1。 標準九 8：約為 Z＝1.25～1.75，中心約為 1.5。 標準九 9：約為 Z 超過 1.75。 標準九是分組結果，不能把某一等當成唯一精確的 Z 值。標準九 8 低於 Z＝2，因此與 T＝70、累積百分比 97.7%、高於平均 2 個標準差的相對位置不同。 七、測量標準誤與條件應用 測量標準誤（SEM）反映個人分數的測量不確定性。在常用近似下，95% 真分數信賴區間可用觀察分數±1.96 SEM，考題常簡化為±2 SEM。得分 85、SEM＝3，約為 79～91；不能拿團體標準差取代 SEM。 若題目假設智力與成就差距須達 1.5 個標準差，智商 100 即 Z＝0，則低成就須達 Z≦－1.5，約為 T≦35、PR 7 以下。PR 2 符合此題設差距；PR 20、T＝38 或 T＝48 均未達。此為題設條件的換算，不能據此單獨完成實際鑑定。 八、量尺分數與成就等級 量尺分數是將原始分數依測驗計分模式轉換後的分數，須依該測驗規定解釋，不一定就是 T 分數或 PR。國中基本學力測驗採量尺分數；不能因此直接假定不同年度或不同科目分數均可互相比較。 國中教育會考以精熟、基礎、待加強呈現主要表現等級，重點在是否達到能力標準，與 PR 所呈現的團體相對排序不同。 常考陷阱 「T＝60 就是贏過 60%」：錯。T＝60 是高於平均 1 個標準差，常態下約為 PR 84。 「原始分數較高，能力一定較佳」：跨科應先比較 Z；高出平均幾分，也要除以各科標準差。 「PR 是等距量尺，可直接平均」：錯。PR 可排序，不能把相同 PR 差值當成相同能力差距。 「只要算出 Z，就能知道精確 PR」：還需要分配資料；常態對照值不能無條件套用。 「標準九 8 等於 Z＝2」：錯。其中心約為 Z＝1.5，低於 T＝70。 「標準差大表示成績好」：錯。只表示分數分散、個別差異大。 「95% 信賴區間用得分±2 SD」：估計個人真分數範圍應使用 SEM，不能與團體 SD 混淆。 記憶口訣 「Z 零一，T 五十十」：依序記平均數與標準差。 「正一八四，正二九八」：常態下 Z＝1、2，PR 約為 84、98。 「比較先轉 Z，PR 看排位」：跨量尺先統一尺度，百分等級只看相對位置。