測量標準誤與信賴區間

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建立於 2026年10月15日

學習重點 計算測量標準誤：SEM＝SD × √(1－r)，掌握信度、標準差與測量精確度的關係。 建立可信範圍：觀察分數 ± 倍數 × SEM；分清約68%、95%、99%與99.7%的倍數。 換算常態分配分數：由原始分數求z分數，再換算T分數、百分等級及高於或低於該分數的人數。 辨識測量誤差：區分系統誤差、非系統誤差，以及時間、試題內容與評分者等誤差來源。 分清兩種標準誤：個人分數的測量標準誤與樣本平均數的標準誤，公式與用途不同。 核心觀念 一、測量標準誤的意義與計算 古典測驗理論將分數分為：觀察分數＝真實分數＋誤差分數。測量標準誤是測量誤差分配的標準差，用來表示個人測驗分數的不確定程度。SEM愈小，測量愈精確。 SEM＝SD × √(1－r)，SD為測驗分數的標準差，r為信度係數。例如SD＝20、r＝0.91，SEM＝20 × √0.09＝6；SD＝10、r＝0.84，SEM＝10 × √0.16＝4。 條件判斷 SD相同，信度愈高SEM愈小，測量愈精確 信度相同，SD愈大SEM愈大 信度為1SEM為0，古典測驗理論中的隨機測量誤差為0 採用不同類型的信度可能得到不同的SEM，反映不同誤差來源 SEM與信度關係密切，不能由效度高低直接推論。增加品質適當的題目通常有助於提高信度；但若改變題數也改變了總分尺度與SD，仍須依公式判斷，不能只看題數。 二、信賴區間與可信範圍 解釋測驗結果宜提供可信範圍，呈現測量的不確定性。在誤差近似常態分配的假設下，本單元採用：真實分數的估計區間＝觀察分數 ± z × SEM。 範圍約略涵蓋比例 ±1 SEM68%（約68.26%） ±1.96 SEM95% ±2 SEM95.44%，常作95%的近似 ±2.58 SEM99% ±3 SEM99.7% 2.58倍對應99%，3倍才對應99.7%。相同SEM下，信心水準愈高，區間愈寬；相同信心水準下，SEM愈大，區間也愈寬。 觀察分數110、SEM＝3，約68%的區間為110 ± 3，即107～113。 觀察分數85、SEM＝3，95%的區間為85 ± 5.88，約79～91。 以70為估計中心、SEM＝4，95%的區間約為70 ± 8，即62～78。 若分數為61、SEM＝4，標準的±1 SEM區間應為57～65。遇到56～65這類不對稱範圍，不能說它精確等於68%；若選項僅提供68%、93%、95%、99.7%，依範圍接近一倍SEM的程度，選最接近的68%。 嚴格而言，95%信賴水準描述的是：反覆依同一方法建立區間，約95%的區間會涵蓋固定的真實分數。考試常以「真實分數落在區間的可能性」作簡化表述。 三、SEM的用途與平均數標準誤 SEM可用於個人分數的區間解釋、兩個人的分數差異，以及同一人在測驗組合中不同分測驗的分數差異。比較分數時須考慮差異的誤差；兩分數的誤差若彼此獨立，差異標準誤為√(SEM₁²＋SEM₂²)。評分者的一致性則應以評分者信度評估。 比較測量標準誤樣本平均數標準誤 處理問題個人分數的測量誤差樣本平均數的抽樣誤差 公式SD × √(1－r)SD ÷ √n 必要資料SD、信度SD、樣本人數 樣本人數25、SD＝50，平均數標準誤＝50 ÷ √25＝10，不需要代入平均數。看到「平均數的信賴區間」時，須辨別是否在考抽樣誤差；若明確指定古典測驗理論的測量標準誤，則依SEM計算分數帶。 四、常態分配、z分數與T分數 z＝(X－M) ÷ SD；T＝50＋10z；X＝M＋z × SD。M是平均數，X是原始分數。若給的是變異數，必須先開根號：變異數9表示SD＝3。 zT低於該分數的比例高於該分數的比例 －2302.28%97.72% －14015.87%84.13% 05050%50% ＋16084.13%15.87% ＋1.56593.32%6.68% ＋27097.72%2.28% 平均82、SD＝4，88分換算z＝1.5，PR約93；比平均高一個SD，PR約84。勝過15.87%的人表示z＝－1；平均80、SD＝3時，原始分數為77。 IQ平均100、SD＝15時，IQ130為z＝2，約97.72%的人低於此分數；IQ115為z＝1，高於此分數者約15.87%。以188人估算，188 × 0.1587約為30人。 注意：平均數到z＝1之間的面積約34.13%，加上平均數以下的50%，才是累積比例84.13%。 五、百分等級與答對百分比 百分等級PR表示在參照團體中的相對位置，可概略理解為低於該分數者占多少百分比。PR愈高，排名愈前；PR90優於PR80，但不表示原始分數多10分。PR屬次序量尺，相同PR差距也不代表相同能力差距。 若名次由高分往低分排列，300人中排名60，約在前20%，因此PR約80。無同分時，採名次中點計算可用：PR＝100 × [N－R＋0.5] ÷ N。 z分數、T分數與PR都能顯示團體中的相對地位。答對百分比＝答對題數 ÷ 總題數 × 100%，本身不包含其他人的成績，無法單憑它判定表現是否突出。原始分數85，也不等於PR85。 六、誤差類型與來源 類型特性與例子改善重點 系統誤差持續朝特定方向偏移，如題目設計或計分標準存在偏差；主要威脅效度確保題目與計分方式符合學術標準，檢查測驗設計 非系統誤差影響不穩定，如噪音、燈光變動或一時狀態不佳；降低信度穩定施測環境、標準化程序，適當增加測量資訊 誤差分類要看是否持續朝固定方向影響分數。增加施測次數或避免一次性狀態不佳，不能直接消除題目與計分上的系統偏差；固定難度、相同施測環境本身也不是非系統誤差的典型來源。 重測信度主要考慮時間取樣；同一時段施測兩份內容等同的複本，主要考慮試題內容取樣；隔一段時間施測複本，兼有時間與內容來源；評分者信度則考慮評分者差異。 常考陷阱 倍數配錯：±1 SEM約68%，±1.96 SEM約95%，±2.58 SEM約99%，±3 SEM約99.7%。 關係看反：「信度愈低，SEM愈小」「SEM愈大，精確度愈高」均錯。信度固定時，SD愈大，SEM愈大。 零誤差解讀錯誤：SEM＝0表示隨機測量誤差為0，不是無法測得真實分數，也不能據此保證效度完美。 SD與SEM混用：換算z用SD；估計個人分數可信範圍用SEM；估計樣本平均數的抽樣標準誤用SD ÷ √n。 中央面積與尾端比例混淆：±1 SD中央約68%，z＝＋1以下卻約84%；求「比他高」須取上尾比例。 PR當原始分數：PR差10不等於分數差10；名次60也不等於PR60。 用途與誤差来源混淆：評分者一致性看評分者信度；同時施測複本的主要誤差來源是試題內容。 記憶口訣 「信高誤小，差大誤大」：其他條件相同時，信度高則SEM小，SD大則SEM大。 「一倍六八，兩倍九五，三倍九九七」：記常用近似值；2.58倍另記99%。 「個人乘根號一減信度，平均除根號人數」：分清兩種標準誤。 「重測看時間，複本看內容，評分看人」：快速辨認主要誤差來源。