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學習重點 掌握課綱類別、位值、十以內合成分解，以及分數與測量的教學概念。 正確使用運算順序、分配律，診斷分數單位量與除法大小的迷思。 熟悉加權平均、利息、平方根、對數與整數計數。 以數量關係處理行程、分配、排隊、間隔、比例尺與幾何問題。 理解容器倒置的體積守恆，以及直線相交、平行、重合與垂直的條件。 核心觀念 一、課綱與基本數概念 數學類別中，N／n 為數與量、S／s 為空間與形狀、R／r 為關係、D／d 為資料與不確定性。學習表現使用小寫字母及學習階段，如 n-Ⅲ-1；學習內容使用大寫字母及年級，如 N-5-3「公因數和公倍數」。 位值指數字因所在位置不同而有不同數值。75＝7個十＋5個一；寫成7105，應以定位板、十進位積木重建位值，不能只靠反覆抄寫。十以內合成分解須涉及總量不超過10的部分與整體，例如10分成5和5；單純點數或總量超過10不符合此範圍。 長方形全部剪成整數邊長的相同正方形，邊長須為長、寬的公因數；最大邊長為最大公因數。最大邊長18公分時，其他可行邊長為1、2、3、6、9公分。 二、運算性質與大小判斷 有括號先算括號，先乘除後加減，同級運算由左至右，沒有「先乘再除」。乘法有結合律，除法不能任意結合：8×3÷4＝8×(3÷4)＝6；8÷4×3＝6，不能改成8÷(4×3)。此類錯誤是乘除混合運算中結合方式的誤用。 分配律為 ac＋bc＝(a＋b)c。324×425＋324×575可合成324×1000；258×147＋742×147可合成1000×147；1683×523＋1683×477可合成1683×1000。56×36＋46×36雖可合成102×36，卻較難凸顯湊整千的便利。分配律是否成立與是否明顯簡化計算，是不同問題。 正被除數除以商與被除數相比 大於1的正數變小 1不變 介於0與1的數變大 檢視「除法越除越小」宜用27.3÷0.3等反例；38.5÷4.6的結果本來就較小，無法有效揭露迷思。比較算式時，也可利用正數乘以大於1的數變大、乘以真分數變小；除以非零分數則改成乘以其倒數。 三、分數、測量與加法題型 在分母100以內的分數、假分數、約分、通分等內容中，先建立分數的基本概念。教學須辨明整體、等分份數及每份內容量：一盒6顆月餅，1/3盒是2顆，分子1表示一份，不一定是一顆。宜由單一物的等分經驗拓展到多個物組成的整體，不能認定先熟練多個物再學單一物即可避免錯誤。 分装問題若總量為V、每瓶容量為q，完整瓶數為V÷q的整數部分k，剩餘量為V－kq，且介於0與q之間。商的小數或分數部分表示不足一瓶的比例；要求剩餘公升數，須換回公升。 測量通常由直接比較→間接比較→個別單位→普遍單位發展，再進入測量計算。同單位加減較早；公尺、公分混合計算須先換算，例如5公尺－348公分＝152公分，要求較高。 加減法題型判斷關鍵 改變型添加／拿走原有量隨時間增加／減少，如又來、花掉 合併型兩部分合成整體 比較型比較兩量相差多少 等化型增減多少才能一樣多 四、平均、利息與數值範圍 加權平均＝各項數值乘權重的總和÷權重總和。權重合計100%時，可直接相加：80×40%＋90×30%＋70×30%＝80。 單利利息＝本金×每期利率×期數；複利本利和＝本金×(1＋每期利率)的期數次方，複利利息須再扣本金。兩筆各1萬元投資兩年，定存年單利5%產生1000元，若總利息至少3000元，基金須產生至少2000元，即(1＋r)²≥1.2。選項中的最低合格年利率為10%，可得2100元；精確門檻是√1.2－1，約9.54%。 常用對數以10為底：log 0.01＝－2、log 1＝0、log 100＝2，合計0。√a的整數部分為n，表示n²≤a＜(n＋1)²；整數部分10對應整數a從100到120，共21個。 數線與原點距離小於c，即－c＜x＜c，須計入0與負整數。c為正整數時有2c－1個整數點；c非整數且整數部分為n時有2n＋1個。 1至100中，2或3的倍數有50＋33－16＝67個，因此同時與2、3互質的有33個。注意「與2或3互質」若按「至少與其中一個互質」解讀，會得到84個；33個所對應的是兩者都互質，亦即與6互質。 五、方程式與生活應用 反向行程：距離＝速率和×時間。15分鐘為1/4小時，12公里對應速率和48公里／小時；扣除20，另一人為28。 同速先後出發：兩人都開始跑後，已跑路程差固定。原差10公尺，一人累計60公尺時，另一人累計50公尺，不能同比例放大。 排隊：前有28人即第29位；78人中後有33人即第45位。兩人之間有45－29－1＝15人。 等間隔掛畫：兩端都留空，18幅畫有19個間隔。間隔＝(2510－18×55)÷19＝80公分。 平均分錢：設人數n、每人p元，總額不變，列(n＋6)(p－20)＝np、(n－3)(p＋20)＝np，得n＝12、p＝60。 分組淘汰：設男女各x、y人，總數方程為x＋y＝56；若淘汰比例為α、β，則αx＋βy＝16，或用剩餘人數列式。求人數差須算其差的絕對值。 一般方程式：先依圖示或等量關係列式，再於等號兩側做相同運算；解出未知數後代回檢查。 六、幾何、容器與直線 比例尺須統一單位：圖上2公分對應實際2公里，為1：100000；線段比例尺每1公分應代表1公里。圓的半徑是圓心到圓上一點的距離：由(1,－4)到(6,8)，半徑√(5²＋12²)＝13，直徑26。 若梯形四頂點為四個等圓的圓心，遮住部分恰為對應內角扇形，且待算區域無重複計數，四角合計360°，遮住面積等於一個圓。四圓半徑10，露出面積為3×3.14×100＝942平方公分。 容器倒置時水與空氣體積不變。若正放水區及倒置空氣區都在相同截面積A的柱體段，瓶高21、正放水高12、倒置水高15，空氣體積為A×(21－15)，水量占比＝12÷(12＋6)＝2/3。不能對任意不規則容器直接以水高除瓶高。 兩直線寫成Ax＋By＝C、Dx＋Ey＝F。AE－BD≠0則交於一點；等於0時，若第二式全部係數與常數皆為第一式的同一倍數，則重合，否則平行。垂直條件為AD＋BE＝0；兩斜率皆存在時，也可用斜率乘積－1。 對2x＋3y＝4與ax＋(a＋2)y＝－3，行列式為4－a：a＝4時平行，其餘交於一點，因此不可能重合；a＝－4時相交。垂直須2a＋3(a＋2)＝0，得a＝－6/5。 常考陷阱 「先乘再除」「除法可任意加括號」都錯；同級運算先按由左至右處理。 分子1不等於一個物件；分數必須先確認以什麼為一個整體。 分配律不必湊整才成立；湊整只是常見的簡算策略。 複利本利和不是利息，最低合格選項也不一定等於精確利率門檻。 平方根範圍含下界、不含上界；數線距離「小於」不含端點。 圓心到圓上一點是半徑；排隊中間人數須再減1；兩端留空的間隔數須加1。 係數成比例不足以判定重合，還須檢查常數；比例法遇零係數時宜改用行列式。 記憶口訣 位值看位置，分數看整體；同級左到右，換單位再算。 兩端留空多一格，中間人數差減一。 倒置水不變，空氣算互補；同截面柱體，體積才比高度。