101年 - 101 國立嘉義大學_轉學生招生考試試題_理工學院：微積分#145307

1. 求$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy^2}{x^2+y^4}$ = _________。

2. 假設函數 f(x)和函數g(x)是可微分函數，並且 f(1)=-2、f'(1)=3 、g=(1)和g(1)=-2 ，求h(x)=f(x)g(x)在 x=1的切線 = _________。

3. 求極限. \( \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k^2} \) = _________。

4. 求\( \frac{d}{dx} \int_{2}^{x^2} \cos t dt \)= _________。

5. 求極限\( \lim_{x \to 0^+} (\sin x)^x \)= _________。

6. 求一函數y=f(x) 使得\(e^y - e^{-y} = x\) ，則 y=_________。

7. 求\( \int_{1}^{3} x\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} d x \)= _________。

8. 求曲線\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}(a>0)\)與兩坐標軸所圍成區域的面積為 _________。

9. 求\( \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} (x+y) dy dx \)=_________。

10. 假設\(y = \sqrt{\cot^{-1} x}\) ，求\( \frac{dy}{dx} \)=_________。

1. 計算級數\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n^2} \)的收斂半徑。

2. 令\(R = \{(x, y) | y \le x, y \le 2 - x, y \ge 0\}\)，求用區域R繞y=2旋轉所得旋轉體的體積。

3. 若二正數的和為40，其積為最大，則此二數為何？

4. 假設\(x^3 + y^3 = 1\)，求\( \frac{d^2y}{dx^2} \)=?