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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 101年 - 101 地方政府特種考試_三等_電力工程、電子工程、電信工程：工程數學#31686
101年 - 101 地方政府特種考試_三等_電力工程、電子工程、電信工程：工程數學#31686
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
101年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
8
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 下列何者為函數 f(t) = cos(2t+10)之拉氏轉換？
2 已知y
1
=x
2
及y
2
=x-1 為(x
2
-2x)y''+2(1-x)y'+2y=0 之兩獨立解。則下列何者為(x
2
-2x)y''+2(1-x)y'+2y=6(x
2
-2x)
2
之通解？
(A)c
1
x
2
+c
2
(x-1)+x
4
-4x
3
，其中c
1
及c
2
為任意常數
(B)c
1
x
2
+c
2
(x-1)-
-9x
4
，其中c
1
及c
2
為任意常數
(C)c
1
x
2
+c
2
(x-1)-
-9x
4
，其中c
1
及c
2
為任意常數
(D)c
1
x
2
+c
2
(x-1)5x
4
+8x
3
，其中c
1
及c
2
為任意常數
3 已知微分方程式 y′ +αy=g(x) 的通解為y(x)=ce
-3x
+2xe
-3x
，其中 α、c 為常數，g(x)為未知函數，求 α 及 g(x)。
(A) α =-3,g(x)=2xe
-3x
(B) α =-3,g(x)= 4e
-3x
(C) α =-3,g(x)=2e
-3x
(D)α =-3,g(x)=4xe
-3x
4 函數 f (t)之拉氏轉換（Laplace transform）為 L{f(t)}，令 F(s)=
，則 F(2)等於何 值？
(A)1/40 (B)1/20 (C)1/4 (D)1/2
5 已知微分方程式
，其解為： (A) y=x
2
-2x
-3
(B) y=x
2
+2x
-3
(C) y=x
-2
-2
(D)y=x
-2
-2x
-3
6 令複數 z=x+iy，則方程式
之幾何圖形為何？ (A)橢圓(B)拋物線(C)圓形(D)雙曲線
7 設複數
，其中i=√-1，則z
40
之值為何？
8 假設複數 z=x+iy，已知 z
c
=e
ciog z
，其中 c 為任意複數值（complex number），試問 (-i)
i
的主要值（principal value）為何？
(A)
(B)1 (C)
(D)0
9 假設路徑 C 為一逆時針方向的半圓形封閉路徑的邊界，其數學定義式為 z=2e
iθ
(0 ≤θ≤π )，試求 之值
。
(A)2πi(B)4πi(C)4+2πi (D)-4+2πi
10 有一曲面z
2
=x
2
-y
2
，下列何者為經過點（1,1,1）且為該曲面之法線向量？
(A)2i-2j-2k
(B)2i+2j-2k
(C)-2i+2j-2k
(D)-2i-2j-2k
11 在溫度場（temperature field）中，已知熱流（heat flow）之方向為溫度變小最急遽（maximum decrease） 的方向，今有一溫度場T(x,y,z)=
，其於點 P (0,1,2)之熱流方向為何？
(A) [0,4,-1]
(B) [0,-4,1]
(C) [1,0,4]
(D) [-1,0,-4]
12 下列何者為線積分 ∫
C
xyzds 之值？其中C 的參數化表示式為ㄌ= 2t ； y= 2t； z = t+3，而0 ≤ t ≤1 ，S(t) 為 曲線C 之長度函數。
13 設
，試求矩陣 A 與 B 之秩（rank）相加值為何？
(A) 4(B)5 (C)6 (D)7
14 下列何者錯誤？
(A)在 R
2
空間中，0 向量正交於所有的向量
(B)在R
3
空間中，0 向量正交於所有的向量
(C)向量
(D) 向量
15 若
，則A
n
=？
16 若
，試求行列式
(A)22 (B)24 (C)26(D)28
17 若
，試求 A 所有特徵值相加之值。 (A)-1 (B)1 (C)2 (D)4
18 兩連續隨機變數 X、Y 之結合機率密度函數（joint probability density function）為
，求機率 P(Y ≤0.2|X=0.4)
19 若 X 為一連續隨機變數（continuous random variable），其機率密度函數（probability density function）為
20 假設兩個隨機變數 均勻分布在單位圓的內部，其聯合機率密度函數（joint probability density function）為
，試算出隨機變數 X 的期望值（mean）為何？
(A)0(B)0.5(C)1(D)1/π
申論題 (8)
⑴試求矩陣 A 特徵值λ
1
，λ
2
。（2 分）
【已刪除】⑵若
，試求矩陣 P。（3 分）
【已刪除】⑶求解
。（10 分）
【已刪除】二、設曲線 C 的參數表示式為x = 2cos(t) ；y = 2sin(t) ；z = 3，其中
， 而沿其 C 曲線之質量密度函數（mass density function）為δ(x,y,z)=xy
2
求其質量中心為何。（15 分）
⑴求 ||f ||。（5 分）
⑵求 f 與 g 間之距離d( f ,g)。（5 分）
⑴E[(3+2X)
2
]＝？（5 分）
⑵Var[5+3X]＝？（5 分）
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-9x4，其中c1及c2為任意常數 
-9x4，其中c1及c2為任意常數 
，則 F(2)等於何
值？ 
，其解為：
(A) y=x2-2x-3
之幾何圖形為何？
(A)橢圓(B)拋物線(C)圓形(D)雙曲線
，其中i=√-1，則z40 之值為何？ 
(B)1 (C)
(D)0
。
，其於點 P (0,1,2)之熱流方向為何？
，試求矩陣 A 與 B 之秩（rank）相加值為何？
，則A n
=？ 
，試求行列式
，試求 A 所有特徵值相加之值。
(A)-1 (B)1 (C)2 (D)4
，求機率 P(Y ≤0.2|X=0.4)
，試算出隨機變數 X 的期望值（mean）為何？
，試求矩陣 P。（3 分）
。（10 分）
， 而沿其 C 曲線之質量密度函數（mass density function）為δ(x,y,z)=xy2 求其質量中心為何。（15 分）