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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 103年 - 103 鐵路特種考試_高員三級_電子工程：工程數學#34272
103年 - 103 鐵路特種考試_高員三級_電子工程：工程數學#34272
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
103年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
7
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 令 f 和 g 皆為可微分（differentiable）純量函數，則有關它們的梯度（gradient）與拉普拉斯算子 （Laplace operator）的等式，下列何者錯誤？ (A)
(fg)=f
g+g
f(B)
(f/g)=(1/g
2
)(f
g-g
f)(C)(f
n
)=nf
n-1
f (D)
2(fg)=g
2
f+2
f
.
g+f
2
g
2 若 f (x, y) =1 為定義於下圖所示區域之質量密度，下列有關其質量M、重心（center of gravity，x , y ）、及慣性矩 （moment of inertia，Ix, Iy）何者錯誤？ (A)
(B)
(C)
(D)
3 圓錐曲面 Φ(x, y, z) =z-
=0 ，x, y 不全為 0，則下列有關梯度（gradient）敘述何者正確？ (A)
(B)
(C)
(D)
4 若函數 f (x, y,z) = 2xy + xe
z
，試求在點（1, 1, 1）之梯度（gradient）：(A) (2 + 2e) i+2
j
+e
k
(B) (2 + 2e)
i
+ (2 + e)
j
+ (1+ e)
k
(C)(2+ e) i+2
j
+e
k
(D)(2+ 2e)
i
+2
j
+ (1+ e)
k
5
，c > 0 ，則 det(cA) 與 det(A) 的關係為何？(A) det(cA) =c‧ det(A)(B)det(cA) =-c‧ det(A)(C) det(cA)=c
2
‧ det(A)(D)det(cA)=-c
2
‧
det(A
6 已知
，試求其輔因子矩陣（matrix of cofactor）? (A)
(B)
(C)
(D)
7令矩陣A=
，試問 A 的秩（rank）為何？(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
8 一矩陣 M 為 n×n 可逆實數矩陣，下列何者敘述錯誤？ (A)若M 為對稱矩陣，則其特徵值（eigenvalue）必為實數 (B)若M 為對稱矩陣，則其必然是正交可對角化（orthogonally diagonalizable） (C)若M 為正交可對角化的（orthogonally diagonalizable）且其特徵值（eigenvalue）為實數，則 M 必然為 對稱矩陣 (D)M 之特徵向量（eigenvector）與 M
-1
之特徵向量不同
9 若 z
1
=1- i, z
2
=-2+4i, z
3
=
，求
之虛部值為？ (A)
(B)
(C)4/7 (D)
10 下列複數數列何者為收斂？（註： i =
）(A)
(B)
(C)
(D)
11 請問 z =π 是複變函數
的幾階極點（pole）？ (A)1 (B) 2(C) 3(D)4
12 設α(t) 為 y '(t) + 2y(t) =1 之解，則
等於何值？ (A) 0(B)0.5 (C)1 (D)∞
13
？ (A)0 (B)1 (C)2 (D)π
14 函數 f (t)=
之拉氏轉換（Laplace transform）為何？其中 u(t) 為單位步階（unit step）函數。(A)
(B)
(C)
(D)
15 拉普拉斯轉換
，求 f (0) = ？(A) 0(B)1 (C)2(D)3
16 下列何者為
之解？其中
。 (A)
(B)
(C)
(D)
17 定義傅立葉轉換（Fourier transform）為
，其中
，若 f (x) 之傅立葉轉 換為 F(ω) 。若 f '(x) 的傅立葉轉換存在，試問 f'(x)cos(ω0x) 的傅立葉轉換為何？((A)
(B)
(C)
(D)
18 令 X 為二項式分布（binomial distribution）隨求變數，其機率為
，其中 n =100， p = 0.2，求平均值 Ε(50- 2X) 為何？ (A)5 (B)10 (C)20 (D)50
19 假設第一個袋子內有 4 個白球和 3 個黑球，第二個袋子內有 3 個白球和 5 個黑球。從第 1 個袋子中取出 一個球（隨意選取而且不被看到）並直接放入第二個袋子中。請問若從第二個袋子中隨意取出 1 個黑球 的機率為何？ (A)18/63 (B) 20/63(C)5/9 (D)38/63
20 假定 X 為一隨機變數，其機率密度函數（density function）為
，求 A 為何？ (A) 2(B)4 (C)6 (D)8
申論題 (7)
【已刪除】(一)
【已刪除】(二)
（3 分）
【已刪除】(三)
（3 分）
【已刪除】二、令 F = f
1
i
+ f
2
j
+ f
3
k
和 G = g
1
i
+ g
2
j
+ g
3
k
為兩向量場， 驗證
。（15 分）
(一)
f
(z) 對 2
i
展開的泰勒級數（Taylor series）。（10 分）
(二)泰勒級數的收斂半徑。(5分)
【已刪除】四、求解
。（10 分）
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(fg)=f
g+g
f(B)
(f/g)=(1/g2)(f
g-g
f)(C)(fn)=nfn-1
f (D)
2(fg)=g
2f+2
f.
g+f
2g
(B)
(C)
(D)
=0 ，x, y 不全為 0，則下列有關梯度（gradient）敘述何者正確？
(A)
(B) 
(C) 
(D)
，c > 0
，則
det(cA) 與
det(A) 的關係為何？(A) det(cA) =c‧ det(A)(B)det(cA) =-c‧ det(A)(C) det(cA)=c
，試求其輔因子矩陣（matrix of cofactor）? (A) 
(B)
(C) 
(D)
，試問 A 的秩（rank）為何？(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
，求 
之虛部值為？ (A)
(B)
(C)4/7 (D)
）(A)
(B)
(C)
(D)
的幾階極點（pole）？ (A)1 (B) 2(C) 3(D)4
等於何值？ (A) 0(B)0.5 (C)1 (D)∞
？ (A)0 (B)1 (C)2 (D)π
之拉氏轉換（Laplace transform）為何？其中
u(t)
為單位步階（unit step）函數。(A)
(B)
(C)
(D)
，求
f (0) =
？(A) 0(B)1 (C)2(D)3
之解？其中 
。 (A) 
(B) 
(C) 
(D)
，其中 
，若
f (x)
之傅立葉轉
換為
F(ω)
。若
f '(x)
的傅立葉轉換存在，試問 f'(x)cos(ω0x) 的傅立葉轉換為何？((A) 
(B)
(C) 
(D)
，其中
n =100，
p = 0.2，求平均值
Ε(50- 2X)
為何？ (A)5 (B)10 (C)20 (D)50
，求 A 為何？ (A) 2(B)4 (C)6 (D)8
（3 分）
（3 分）
。（15 分）
。（10 分）