104年 - 104 交通事業鐵路特種考試_電力工程、電子工程：工程數學#22477

科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) | 年份：104年 | 選擇題數：20 | 申論題數：8

試卷資訊

所屬科目：工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)

選擇題 (20)

1 設 v(t)為一向量函數，若已知其長度為一非零常數，則下列何者為不可能？ (A)v'(t)為零向量 (B)v' (t)和 v(t)正交 (C)v' (t)為非零向量且平行於 v(t) (D)v(t)．v(t)為常數（註："．"表內積運算）

2 令向量場 F = x² i + y² j + 2z² k，則在（1, 1, -1）處的散度（divergence）∇．F為何？ (A)-1 (B)0 (C)4 (D)8

3 若 u = zi + xj + yk 且 v = xyi + yzj + zxk，則∇．(u× v)為： (A)v．(∇ × u) (B)2xy + 2yz + 2zx (C)u．(∇ × v) (D)xy + yz + zx

4 若 F = 2xcos(2y) i – 2x ² sin(2y) j，C 為從（1, π）到（2, π）之某一曲線，求 ∫_C F．dR： (A)3 (B)6 (C)4-cos(2) (D)4+cos(2)

5 下列何者是正交矩陣（orthogonal matrix）？

6

，則 A^-1的行列式值（determinant）為何？ (A) 0.1 (B)10 (C)-10 (D)-0.1

7 若矩陣

，則 A 的零空間（nullspace）之維度為： (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

8 一矩陣

，下列何者不是矩陣 A 的特徵向量（characteristic vector）？

9 設複數 z = 6 + i8 = re^iθ，其中

，則（r, θ）為何？ (A)(6, 8) (B)(6, tan^-1(8)) (C)(8, tan^-1(6)) (D)(10, tan^-1(4/3))

10 令

為一複數級數（complex series），則下列敘述何者為錯誤？（註：答案中 q 是一個小於 1 的定值， N 是一個正數）

，則此級數絕對收斂（absolutely convergent）

，則此級數收斂

，則此級數發散

，則此級數發散

11 令

，其中 z ≠ 0，若 z = x + iy ，則有關 g(z) 的敘述何者正確？

【已刪除】12 下列選項中 c1、c2為任意常數。解微分方程式

(E)一律給分

13 求解微分方程

(A) r = π (1− bcosθ ) (B) r = π (1+ bcosθ ) (C) r = π (b − cosθ ) (D) r = b(π − bcosθ )

14 一微分方程式(x² − x ) y′′ − xy′ + y =0 ，已知有一解為 y₁ = x ，則下列何者為正確？ (A)另一解為 y₂ = x ln x +1且 y₂ 與 y ₁為線性相依 (B)另一解為 y₂ = x ln x + x且 y ₂與 y₁ 為線性相依 (C)另一解為 y₂ = x ln x +1且 y₂ 與 y₁ 為線性獨立 (D)另一解為 y₂ = xln x + x 且 y₂ 與y₁ 為線性獨立

15 定義函數 f (t) 之拉氏轉換（Laplace transform）

，則 f (t) 為何？其中u(t) 為單位步階（unit step）函數。 (A)[(t −1)cos2(t −1)]u(t −1) (B)(t −1)cos2(t −1) (C)(t −1)[cos2t − 2sin 2t] (D)(t −1)[cos2t − 2sin 2t]u(t −1)

16 設 y = a(t) 為 y′′(t) + 4y′(t) + 3y(t) = 6 之解，則

之值為何？ (A)0 (B)1 (C)2 (D)4

17 定義傅立葉轉換（Fourier transform）為

，若 f (x) 之傅立葉轉換為

，試問 f (x) 為何？

18 投擲一個公正的硬幣 5 次，求正好 3 次正面朝上的機率為何？ (A)3/8 (B)5/16 (C)5/8 (D)11/16

19 兩離散隨機變數 X、Y 之結合機率為 P(X = x, Y = y) = A(2x +3y)，其中 x = 1, 2；y = 1, 2, 3，則 A=？ (A)1/54 (B) 1/36 (C) 1/24 (D) 1/12

20 已知某一電話總機在單位時間內收到之電話數目遵守平均每分鐘 4 通之 Poisson 分布，令 X 表示收到 2 通電話之等待時間（分鐘），求 P(X ≤1)為何？ (A) 1− 4 e ^− 2(B) 1− 5 e ^− 2 (C) 1− 4 e ^{− 4} (D) 1− 5 e ^{− 4}

申論題 (8)

(一)求 A 的特徵值（eigenvalues）。（5 分）

(二) A 的特徵向量（eigenvectors）。（5 分）

(三)求 A²⁰。（5 分）

【已刪除】二、考慮有一個週期性函數

，週期為 4，請將 f (x) 表示成傅立葉三角級數（Fourier trigonometric series）。（15 分）

【已刪除】三、請利用留數（residue）求

之值。（10 分）

(一) E [W² ] 。（3 分）

(二)E[WU]。（3 分）

【已刪除】(三)Y 的均方差（variance）：

。（4 分）