105年 - [無官方正解]105 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_通訊工程學系：機率#147247

科目：研究所、轉學考(插大)◆機率 | 年份：105年 | 選擇題數：1 | 申論題數：14

試卷資訊

選擇題 (1)

5. 若有兩個彼此獨立的隨機變數 x 以及 y，以下何者為真？(此題僅需選出正確選項)(10%) (A) $ E[x + y] = E[x] + E[y] $ (B) $ E[(x - y)^2] = E[x^2] + E[y^2] $ (C) $ E[xy] = 0 $ (D) $ E[xy] = E[x]E[y] $

申論題 (14)

1. $F_{x}(x)$ is a cumulative distribution function (cdf). Is it true that $0 \leq F_{x}(x) \leq 1$? (Please answer yes or no) (5%).

2. The random variable $ X $ is uniformly distributed in the interval [-1, 2]. (5% each, total 25%)

(a) Find the cdf of $ X $.

(b) Plot the cdf of $ X $.

(d) Find the expected value of $ X $.

(e) Find the variance of $ X $.

3. Let $Y = a \cos(\omega t + \Theta)$ where $a$, $\omega$ and $t$ are constants, and $\Theta$ is a uniform random variable in the interval $(0, 2\pi)$. The random variable Y results from sampling the amplitude of a sinusoid with random phase $\Theta$. (5% each, total 10%)

(a) Find the expected value of $ Y $.

(b) Find the variance of $ Y $.

4. A random variable X has a probability density function (pdf): (5% each, total 10%)

$$f_X(x) = \begin{cases} cx(1 - x^2) & 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{elsewhere.} \end{cases}$$

(a) Find c.

(b) Find the cdf of $X$

6. 若有兩個獨立之隨機變數 $x$ 以及 $y$ 都為 Bernoulli distribution，他們的 pmf 分別為

$$p(x) = \begin{cases} a \text{ for } x=1 \\ 1-a \text{ for } x=0 \end{cases} \text{ 以及 } p(y) = \begin{cases} b \text{ for } y=1 \\ 1-b \text{ for } y=0 \end{cases}$$

求兩隨機變數 $z = x + y$ 以及 $h = xy$ 之機率分佈，也就是 $p(z)$ 及 $p(h)$。此題計算過程不計分，謄寫答案即可。(10%)

7. 若一桶子裡面有 10 顆球，形狀大小都一樣，3 顆為白色，7 顆為黑色，人可以伸手至桶內一次抽出一球，但無法看見桶內球之顏色，抽出球之後必須將球再放回桶內充分混和後才可抽下一顆球，若抽中某顆球的機率皆為均等，試問在連續抽出 5 顆球的情況下，抽出 3 白球的機率為何？(本題需要計算過程)(10%)

8. 若每次革命成功與否為彼此獨立的事件，假設每次革命成功的機率是 $ p $ ，請問革命失敗 $ k - 1 $ 次($ k \geq 1 $)後才成功的機率為多少？平均要第幾次革命才會成功？(本題需要計算過程)(10%)

9. 請敘述如何用程式語言產生出以下的 categorical distribution:

$$p(x) = \begin{cases} 0.1 \text{ for } x=a \\ 0.2 \text{ for } x=b \\ 0.3 \text{ for } x=c \\ 0.4 \text{ for } x=d \end{cases}$$

注意：不須將某一程式語言之程式碼寫出，僅需要將方法或虛擬程式碼(pseudo code)寫出。(10%)

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