所屬科目：教甄◆數學
一、填充題1.某次考試有5題是非題，若全部亂猜，計算猜對題數的期望值。
2.用繩子纏繞一氣球上的大圓(亦即大圓所在的平面包含球心)，當此氣球膨脹使得直徑增加2公分，經測量得知所需繩長增加6公分(以1位有效數字記錄)。若把地球視為半徑6,000公里的球體，想像有一條電纜繞纏地球上的大圓，若地球膨脹，使得地球半徑增加1公分，計算此電纜的長度增加量。
3.希克定律(Hick’sLaw)指出人們從各種選項中作決定時，所需思考時間隨著選項增加呈現對數模式成長。例如，顧客從n種飲料作出選擇所需的時間T(秒)可用
Tn=2ln(n+11)
作為數學模型。若希望顧客在3秒內作出決定，求出選項數量的最大值。
4.某地區的天氣型態簡化為晴天與雨天，並採用馬可夫鏈(MarkovChain)作為數學模型：如果今天是晴天，明天仍是晴天的機率為0.7,如果今天是雨天，明天仍是雨天的機率為0.6，依照此數學模型，晴天雨天之比值會趨於穩定，求出此比值。
5.求出此集合的最小值。
6.計算橢圓內接四邊形的最大面積。
7.調整球內接圓柱的尺寸，使得圓柱有最大的體積，計算此時球對圓柱的半徑比值。
8.設,計算A4-2A3+3A2-A.
9.下圖為連續函數f的部分圖形，定義另一函數g如下:
計算函數g在x=2的導數.
10.某校想知道學生曾經在段考中作弊的比例，以隨機化回答技術(RandomizedResponseTechnique,RRT)抽測100位學生：
(1)請投擲兩枚公平硬幣。
(2)若編號1的硬幣為正面，回答
由於只有受測者知道自己投擲硬幣的結果，他人無從得知受測者回答哪一個問題，也就無從得知受測者是否曾在段考中作弊，因此保護了學生的隱私。
假設抽測結果有35位學生回答「是」，估計該校學生曾在段考中作弊的百分比。
二、計算題為設計可在Geogebra或Desmos用滑桿控制的動態圖形：讓單位拋物線(正焦弦長為1)繞著其焦點旋轉(自轉)，而其焦點同時繞著單位圓x2+y2=1旋轉(公轉)，下圖是4組不同滑桿數值(參數)所呈現的圖形，參數β表示拋物線公轉的相位(phase)，參數表示焦點在單位圓上自轉的相位。
寫出能達到此效果的參數方程式。
三、證明題(請詳列算式於答案卷，否則不予計分)
f為實係數多項式，試證f(f(x))-x可被f(x)-x整除。
阿摩線上測驗
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的最小值。
內接四邊形的最大面積。
,計算A4-2A3+3A2-A.
寫出能達到此效果的參數方程式。