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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
> 98年 - 98 身心障礙特種考試_三等_電力工程、電子工程：工程數學#36819
98年 - 98 身心障礙特種考試_三等_電力工程、電子工程：工程數學#36819
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
98年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
4
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 解微分方程式x
2
y
'
=y
2
+2xy，其中 y(1) =1。
2 求 y′′ + 4y′ − 2y = 0之通解：
3 若
，c∈R 是 Ax=
的通解（general solution），試求矩陣 A。
4 應用拉式轉換（Laplace transform）求積分方程式：
的解為何？
5 以下何者為
之拉式反轉換（inverse Laplace transform）？
6 已知函數 F(x) = x, 0 < x < 2，以半幅展開 F(x)為傅立葉餘弦級數
，則下列何者 正確？
7 定義傅立葉轉換為
之傅立葉轉換，其中δ(t)為 Dirac delta 函數。
8 若 A ∈ R
n×n
為對稱矩陣，則下列何者敘述正確？ (A)一定可對角化 (B)特徵值全部相異 (C)一定可逆 (D)對於任意 x ∈ R
n
，則 x
T
Ax ≥0
9 將函數 f (t) = (2cos(2πt))
4
的複數傅立葉級數（complex Fourier series）表示成
，其中i = √−1 。 求
之值為何？ (A) 9 (B) 11 (C) 13 (D) 16
10 給定一個微分方程式 y′′ − xy′ + e
x
y = 4 ，初始值為 y(0) =1， y′(0) = 4，這個初始值問題存在著一個冪級數 解（power series solution）
。則 x
3
的係數 c
3
之值為何？ (A) −1/6(B) −1/4 (C) 1/6 (D) 1/4
11 求
，沿拋物線 x = 2t ， y = t
2
+3 之值為何？ (A) 31/2 (2B) 33/2 (2C) 35/2 (2D) 37/2
12 下列給定的矩陣 A, B 中，何者互為相似矩陣（similar matrices）？
13 方程式| z + 3| + | z − 3|=10 在直角座標中之軌跡為何形狀？ (A)圓 (B)橢圓 (C)雙曲線 (D)拋物線
14 令 R 為 x - y 平面上的一個封閉有界領域（closed bounded region），封閉曲線C 為 R 之邊界（boundary）， 且 R 永遠位於行經C 之路徑之左邊，則下列路徑積分中，何者不為 R 之面積？
15 已知二維位能函數（potential function）滿足 Laplace’s 方程式
，今考慮一長方形邊界 問題 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b，其邊界條件為u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x,0) = 0, u(x,b) = f (x) ，利用分離變數法 （separation of variables）u(x, y) = F(x)G( y) 得其特徵函數（eigenfunction）為：
(A)sin(
)sin(
)
(B)sin(
)sinh(
)
(C)sin(
)sin(
)
(D)sin(
)sinh(
)
16 2xy
2
-3+(2x
2
y+4)
的解為 ax
2
y
2
+ bx + cy = k ， k 為任意常數，求 a + b + c = ？ (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
17 設隨機變數 x 為連續的，且其機率密度函數為
，求條件機率 )
。 (A) 5/108 (B) 5/36 (C) 5/12 (D) 5/6
18 已知機器 A, B, C 分別生產全部產品之 1/2 , 1/3 , 1/6 ，又機器 A, B, C 生產之產品不良率為 2%, 3%, 4%，則 從所有產品中取一產品，問取中不良產品之機率為何？ (A) 2/75 (B) 3/75 (C) 4/75 (D) 5/75
19 給定一個連續隨機變數 X ，它的期望值（mean）為4，變異值（variance）為1。定義隨機變數Y 為Y = 4X − 2 ， 則Y 的變異值為何？ (A) 2 (B) 4 (C) 14 (D) 16
20 向量u = i − 2j + k 於向量v = 7i + 4j + 4k 之投影（projection）為何？ (A) 1/3 (B) 19/9 (C) √6/2 (D) 3
申論題 (4)
【已刪除】一、求解下列矩陣的特徵值與特徵向量 A=
。（10 分）
【已刪除】二、若 D 為半圓球 2 x2 + y2 +(z−1) =9, 1≤ z ≤4, 與平面 z =1所包含的區域， S 為其表面，試求面積分
為該面的向外單位 法向量。（10 分）
【已刪除】三、試將函數
在 1< │z −1│的範圍內，展開成 Laurent 級數 （Laurent series）。（15 分）
【已刪除】四、有一波動方程式
其邊界條件為
。 若啟始條件（initial condition）為
與
試求解 u(x,t)。（15 分）
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，c∈R 是 Ax=
的通解（general solution），試求矩陣 A。 
的解為何？ 
之拉式反轉換（inverse Laplace transform）？
，則下列何者 正確？
之傅立葉轉換，其中δ(t)為 Dirac delta 函數。 
，其中i = √−1 。 求
之值為何？ (A) 9 (B) 11 (C) 13 (D) 16 
。則 x3 的係數 c3 之值為何？ (A) −1/6(B) −1/4 (C) 1/6 (D) 1/4 
，沿拋物線 x = 2t ， y = t2 +3 之值為何？ (A) 31/2 (2B) 33/2 (2C) 35/2 (2D) 37/2
，今考慮一長方形邊界 問題 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b，其邊界條件為u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x,0) = 0, u(x,b) = f (x) ，利用分離變數法 （separation of variables）u(x, y) = F(x)G( y) 得其特徵函數（eigenfunction）為： 
)sin( 
) 
)sinh( 
) 
)sin( 
) 
)sinh( 
)
的解為 ax2 y2 + bx + cy = k ， k 為任意常數，求 a + b + c = ？ (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 
，求條件機率 ) 
。 (A) 5/108 (B) 5/36 (C) 5/12 (D) 5/6 
。（10 分）
為該面的向外單位 法向量。（10 分）
在 1< │z −1│的範圍內，展開成 Laurent 級數 （Laurent series）。（15 分）
其邊界條件為 
。 若啟始條件（initial condition）為 
與
試求解 u(x,t)。（15 分）