高中指考◆數學甲題庫下載題庫

上一題
5. 設 f(x)為三次實係數多項式。已知 f(−2−3i)=0(其中 i= ),且 f(x)除以 x²+x−2的餘式為18。試選出正確的選項。
(A) f (2+3i) = 0
(B) f(-2) = 18
(C) f(x)的三次項係數為負
(D) f(x)=0恰有一正實根
(E) y = f(x)圖形的對稱中心在第一象限

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難度： 計算中

10
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Celeste 小五下 (2024/10/10):

答案是 BCD：

由於f(x)為實係數多項式,且-2-3i是其根,根據 複數根的共軛性質,-2+3i也必定是f(x)的根。
推f(x)=(-2-3i)(-2+3i) q（x）=
令q(x)為ax+b
由因式定理可知,既然-2-3i和-2+3i是f(x)的 根,則(x-(-2-3i))(x-(-2+3i)) 是f(x)的因式。
f(x)=
(x+2+3i))(x+2-3i)（ax+b）=
•(x + 2) 2 - (- 9)（ax+b） =〔 (x + 2)  2 + 9〕
•f(x)=（ax+b)×(x2+4×+13)

再用餘式定理

得知f(x) 除以 x 2 + x 2 -2的餘式為18,這表示存在一 個多項式q(x),推得:
 f(x) = (x  2 + x2-2) x Q(x) + 18
 f(x) =（×-1）（x+2）x Q(x) + 18

〔以f（1）和f（-2）代入f（x）

這樣可以解a和b
因為以f（1）和f（-2）代入
(×-1）（x+2）Q（X）=0〕
上面算得
•f(x)=（ax+b)×(x2+4×+13)
=（×-1）（x+2）x Q(x) + 18 
以f（1）和f（2）代入f（x）
這樣可以解a和b
所以
f（1）和f（-2）代入f（x）可得
f（1）=（a+b）(1+4+13)=18
f（-2）=（-2a+b）（4-8+13）=18

a=-1／3
b=4／3
再帶入f(x)=（ax+b)×(x2+4×+13)

f（x）=(x2+4×+13)(-1/3x+4／3)
=-1/3X3+X+52/3x

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對稱中心(0,52/3)在y軸

 (A) f(2+3i) = 0：
   -由於f(x)為實係數多項式,複數根必成對出現，且-2-3i是其根,根據 複數根的共軛性質,-2+3i也必定是f(x)的根。
推f(x)=(-2-3i)(-2+3i)複數根必成對出現。
 推得( f(-2-3i) = 0 )，且( f(-2+3i) = 0 ) 成立，而不是 ( f(2+3i) = 0 )。所以這個選項是錯誤。

 (B) f(-2) = 18：對，
餘式定理

得知f(x) 除以 x 2 + x 2 -2的餘式為18,這表示存在一 個多項式q(x),推得:
 f(x) = (x 2 + x2-2) x Q(x) + 18
 f(x) =（×-1）（x+2）x Q(x) + 18

f（-2）代入f（x)
 f(x) =（-2-1）（-2+2）x Q(x) + 18

=-3×0+18=18
3. (C) f(x)的三次項係數為負：
   對， 根據以上推算f(x)的三次項係數為-1/3X3

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(D) f(x)=0恰有一正實根：
f(x)=（ax+b)×(x2+4×+13)=0
上面有算過f（x）=(-1/3x+4／3)(x2+4×+13)
      x2+4×+13題目有說這兩個X都是虛根所以實根只有可能是-1/3x+4／3=0
X=4所以有一正實根，對



(E) y = f(x)圖形的對稱中心在第一象限：
對稱中心(0,52/3)在y軸不是在第一象限
   -

綜合以上，正確的選項是 B、C 和 D
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5. 設 f(x)為三次實係數多項式。已知 f(−2−3..-阿摩線上測驗