高中指考◆數學甲題庫下載題庫

上一題
7.坐標平面上,考慮兩函數 f(x)=x−5x³ + 5x² +5 與g(x)= 的函數圖形(其中π為圓周率)。試選出正確的選項。
(A) f'(1)=0
(B) y = f(x)在閉區間 [0,2] 為遞增
(C) y=f(x)在閉區間 [0,2]為凹向上
(D) 對任意實數x, g(x+6π) = g(x)
(E) y = f(x)與 y = g(x)在閉區間 [3,4]皆為遞增

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10
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Celeste 小五下 (2024/10/10):

 

 
(A) f(x)=x5-5x3 + 5x² +5一次微分（阿摩上傳錯誤）
f'(X)=5X4-15×2+10×，所以X=1代入
f'(1)=5-15+10=0
所以f'(1)=0對
 
 
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f'(x)x=-2,0,1代入結果
(☆由於×=1是平方斜率是0)
 一次微分 f'(x)的正負決定了函數f(x)的遞增或 遞減。

・當f'(x)>0時,函數f(x)在該區間為遞增。

・當f'(x)<0時,函數f(x)在該區間為遞減
圖表中的數線顯示了f'(x)在不同區間的 正負號。在區間[0,2]內,f'(x)的值大於0, 這意味著函數f(x)在這個區間內是遞增的。

(C) y=f(x)在閉區間[0,2]為凹向上
函數的凹凸上,這涉及到函 數的二次微分。
所以二次微分
f''(x) = 20x3 -30X+10
= 10(2x3 -3X+1)=10（2x2+2X-1）(X-1)
用公式解（2x2+2X-1）
x = (-b + -√(b² - 4ac)) / (2a)代入

x = 1

x = (-1+ √3)/2 =大約等於0.366

x = (-1-v3)/2 大約等於 -1.366(這個就不用討論因為小於0，題目問0到2之間)

在[0,2]區間內的零點只有:  x = 0.366 =(-1+ √3)/2 和 x = 1



在[0,2]區間內:

・0到(-1+ √3)/2也就是0到0.366之間: 
區間內: f''(x) > 0（
用X=0.1代入f ''(x) = 20x3 -30X+10,大概等於7），所以函数在([0, 0.366] 是凹向上的。

・(-1+ √3)/2到1也就是0.366到1之間:  凹向下
 ,所以f''(x) 在([0.366,1])是凹向下的。用x=0.5代入 看看20(0.125) - 15 + 10 = 2.5 - 15 + 10 = - 2.5 

・1到2:  f''(x)> 0 (凹向上)(x = 1.5) 代入: 20(3.375) - 45 + 10 = 67.5 - 45 + 10 = 32.5 >0

由於在[0,2]區間內存在一段凹向下的部分(0 到0.366),所以f(x)不是在整個[0,2]區間都 凹向上。

所以C選項錯誤
 
(D) 錯應該是 g(x+6) = g(x)
週期為2π÷π/3=6
所以不是g(x+6π) = g(x)

 
(E) y = f(x)與y = g(x)在閉區間[3,4]皆為遞增

6707266fa0065.jpg呈(B選項)當x>1，f’（×）都是遞增所以閉區間[3,4]皆為遞增f’（×）遞增
而

討論g（X）=（Xπ／3+1／2π）
g(3) =Sin(3/2π)

g(4) =Sin（11/6π )
先判斷當x從3增加到4時,函數值g(x) 落在哪個象限
一個完整的圓周角為2π弧度。
一個完整的圓 周角為360度。
所以π=180°

• g(3) = sin(3π/2) =sin（270°) =-1

• g(4) = sin(11π/6) = sin (330°)
 = sin (360° -30°) = -sin30° = -1/2
當x為正,y為負在第四象限
已知第四象限(270°~360°) sin值為-1到0.且為遞增,y座標隨著角度增加遞增
所以
閉區間[3,4]g（×）為遞增







 
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