申論題

五、假設我們要替很大的一群人抽血檢驗是否帶有某種病菌。由於檢驗一個血液樣本很 費時，我們可以把好幾個人的抽血樣本混合在一起做為一個檢驗單位，一次檢驗這 一個單位。 假設這個合併的血液單位，一次檢驗，如果檢驗結果是沒有病菌（negative result）， 則這幾個人全部都沒有病菌。但若檢驗結果是有病菌（positive result），則這幾個 人必須再重新抽血，一一個別檢驗一次。目標是希望總共檢驗次數少一點。 假設共有 N 個人，每 k 個人分為一組，共有 n 組，且 N = kn。 若對這 N 個人都個別一一檢驗，需要 N 次檢驗（individual test）。 若每 k 個人一組合併血液作一次檢驗，可能最少只需 n = N/k 次檢驗（若所有 N 個 人都沒有病菌）。但最多則需 n + N 次檢驗（若每一組都有人帶有病菌）。 假設每一個人帶有病菌的機率是 p，且都互相獨立無關（independent）。在每一組 k 個人是否帶有病菌也都獨立無關。（18 分）

⑴試計算並推導出上述分組檢驗，總共檢驗次數的期望值。