(3) 證明上述推測。(非選擇題，4 分)

1. 箱中有大小相同的 4 顆球，其編號分別為 1,2,3,4，設每顆球被取到的機會均相等。今自箱中取兩顆球，一顆球一顆球取，但取後放回，也就是說有可能兩顆球都是 1 號球。設隨機變數 X 表示取出來球的編號之總和，試回答下列各小題：(1)求出 P(X = 2)，(2)寫出隨機變數 X 的機率分布表，(3)繪出隨機變數 X 的機率質量函數圖。

2. 箱中有大小相同的 4 顆球，其編號分別為 1,2,3,4，設每顆球被取到的機會均相等。今自箱中取兩顆球，一顆球一顆球取，但取後不放回，也就是說不可能兩顆球都是 1 號球。設隨機變數 Y 表示取出來球的編號之總和，試回答下列各小題：(1)求出 P(Y = 2)，(2)寫出隨機變數 Y 的機率分布表，(3)繪出隨機變數 Y 的機率質量函數圖。

3. 設某個隨機變數 X 的機率分布表如下表，試求此隨機變數 X 的(1)期望值，(2)變異數。

4. 丟擲一個不公正的硬幣，正面出現的機率為 0.8，反面出現的機率為 0.2，現投擲此硬幣 4 次，每次的結果互不影響，設隨機變數 X 表示這 4 次中正面出現的次數，試回答下列各小題：(1)求出這 4 次中恰好兩次正面兩次反面的機率，(2)求出隨機變數 X 的期望值，(3)求出隨機變數 X 的變異數。

5. 某人宣稱某硬幣正面出現的機率為 0.7，現連續投擲此硬幣 10 次，出現了 4 次正面，而二項分布 B(10,0.7) 的機率分布表如下表，設顯著水準 \(\alpha = 0.1\)，試回答下列各小題：(1)拒絕域為何？(2)對於「某人宣稱某硬幣正面出現的機率為 0.7」這句話是接受或拒絕？

二、選填題(每格 5 分，共 30 分)A. 設 \(f(x) = x^2 + x\)，g(x) = 3x + 4，則 \((g \circ f)(1) + (f \circ g)(2) = \underline{⑩⑪⑫}\)。

B. 函數 \(f(x) = \sqrt{35 - 2x - x^2}\) 的值域為閉區間 \([\underline{22}, \underline{23}]\)。

C. (1) 數列 \(\left\langle \frac{4n^2}{n^2+9} \right\rangle\) 的極限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n^2+9} = \underline{24}\) 。(2) 承上題，若 \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n^2+9} = L\) ， 則數列 \(\left\langle \frac{4n^2}{n^2+9} \right\rangle\) 從第 \(\underline{25}\underline{26}\underline{27}\) 項開始，其值與 L 的差 \(\left| \frac{4n^2}{n^2+9} - L \right|\) 會小於 \(\frac{1}{10000}\) 。

D. 若 \(\lim_{x \to 5} \frac{1}{x} = L\) ，則 x 與 5 的距離 |x - 5| 小於等於何值時，其函數值與 L 的差 \(\left| \frac{1}{x} - L \right|\) 最多是 \(\frac{1}{10000}\) ？

1.在校慶園遊會中，創意行銷扮演著相當重要的角色。已知建仔攤位專賣紅茶，計畫推出一項名為「紅茶容量加大連連」的促銷活動。在這項活動中，當顧客支付 20 元後，必須投擲一個公正硬幣。如果硬幣投擲出反面則投擲結束，顧客將獲得 500 cc(立方公分)的紅茶；但如果硬幣投擲出正面，然後再次投擲出反面，顧客將獲得的紅茶量為 500 + 250 cc。若連續投擲 2 次正面，然後才投擲出反面，則顧客獲得的紅茶量為 500 + 250 + 125 cc，依此類推。若連續投擲 n - 1 次正面，然後才投擲出反面(總共投擲了 n 次硬幣)，顧客將獲得的紅茶量為\[500 + 500 \times \frac{1}{2} + \dots + 500 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \text{ cc} 。\]然而，700 cc 紅茶的所有成本是 20 元，因此當支付 20 元購買紅茶的顧客獲得的紅茶量超過 700 cc 時，建仔攤位會虧本。為了評估這個促銷活動的可行性，請計算支付 20 元購買紅茶的顧客獲得的紅茶量的數學期望值。(12 分)

115年 - [無官方正解]112-1 高三第二學期定期考試題：數甲#142994

115年 - [無官方正解]112-2 建中第二學期定期考試高二數B試題#142979

115年 - 115-2 交通部航港局_船員岸上晉升適任性評估筆試測驗_二等大管輪：利用模擬機作自動控制實務實作評估#142754

112年 - [無官方正解]112-1 建中第一學期定期考試高三數甲試題#142992

112年 - 112-2 建中第二次定期考試高三數乙試題#142989

112年 - [無官方正解]112-2 建中第二次定期考試高二數B試題#142987