(a) (5%) Describe the mean-value theorem.

(1)利用兩個同高不同底的三角形面積比即為其底邊比的性質,試證明右圖中(△ABC的面積):(△APR 的面積) =(5分)

(2)如右圖,已知 ,試問當為多少時,△PQR 的面積會有最小值?又此時△PQR 的面積與∆ABC的面積的比值為何?(7分)

(3)如右圖,已知△ABC的面積為80,△APR的面積為10,△CQR的面積為35, = 12, = 20。令的交點為G,試問長度是長度的幾倍?(8分)

貳、作文：        2023 年 11 月，演員吳慷仁以《富都青年》拿下第 60 屆金馬獎影帝、《一把青》獲金鐘獎最佳男主角，成為史上第三位「雙料影帝」。歷任雙料影帝常楓、郎雄，在達成兩獎紀錄時分別為 51 歲和 67 歲，今年 41歲的吳慷仁也成為該項成就上「最年輕紀錄保持人」，內斂演技深獲觀眾認同。        他表示自己永遠記得李安導演說過的一段話：「演員表演有新的生命，但又要打破新的生命。寧願犯錯，不要 boring。不要怕犯錯，犯錯才會進步。」小時候，吳慷仁總是愛繞路回家。每當大人因為擔心或生氣質問去向時，他會回答自己只是想繞其他路走走看看，沒有特別的理由，就是會晚了一點到家而已。或許表演也是這樣，儘管沒有特別標新立異的渴望，但就是想走不一樣的道路、看看不一樣的風景，知道自己能有多大的不同。只要撐得過犯錯的挫折感，以及不被理解的眼光，這些體會終究會轉化為表演的能量。        吳慷仁謙虛的說：「拿獎，也可能只是去年的嘗試中不小心做對的一件事，之後還是會犯錯，但只要繼續拍戲，這個錯，下次，下下次就可能變對了。」 (改寫自吳慷仁 FACEBOOK 得獎感言)請回答下列問題：執著夢想、追尋目標的旅程中，我們難免會「犯錯」。有時只是想嘗試不一樣的路徑、挑戰自我，卻被定義成離經叛道。然而，你能否超越對「犯錯」的恐懼，持續突破，在未來使一切的努力開花結果？請以「犯錯是一種學習」為題，寫一篇文章，結合生活經驗或見聞，書寫你的感思與體悟。

(b) (10%) Use the mean-value theorem to show that 10 + ＜＜ 10 +[Hint: Consider f(x) = on(1000, 1150)]

2. (10%) Sketch the graph of the functionf(x) = (x3 -x2 - 6x + 2), x∈ [-2, -∞).

3. (10%) Find[Hint: limit of Riemann sums]

(a) (10%)∫sin5x dx.

(b) (10%).

5. (10%) We know that the region below the graph of $f(x) =, x≥1 has infinite area. Show that the volume of the solid generated by revolving the region about the x-axis is equal to π.