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107年 - 107 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_資訊工程學系：線性代數與離散數學#147285
> 申論題
(b) Give the space \(\mathbf{S}\) which they span. What is the dimension of \(\mathbf{S}\)?
相關申論題
(c) Which matrices \(\mathbf{M}\) have \(\mathbf{S}\) as their column space?
#605782
(d) Give an invertible \( n \) by \( n \) matrix \( \mathbf{A} \). Show that \( \mathbf{A}\mathbf{v}1, \mathbf{A}\mathbf{v}2, \) and \( \mathbf{A}\mathbf{v}_3 \) is also a basis for \( \mathbf{S} \).
#605783
6. (10%) Factor the matrix B into B = LDLᵀ. $$\mathbf {B} = \left[ \begin{array}{c c c} 5 & 5 & 0 \\ 5 & 7 & 2 \\ 0 & 2 & 9 \end{array} \right]$$
#605784
7. (10%) Project b = [6] onto the column space of C = [1 0 0] What is the projection matrix P? What is the projection p?
#605785
8. (15%) Test the matrix D = [2 -1 0] to answer the following questions: (a) Are all the pivots of \(\mathbf{D}\) positive?
#605786
(b) Are all the upper left determinants of \(\mathbf{D}\) positive?
#605787
(c) Are all the eigenvalues of \(\mathbf{D}\) positive?
#605788
(d) Is \( x^{T}Dx \) always positive except at \( x = 0 \)?
#605789
(e) Does \(\mathbf{D}\) equal \(\mathbf{R}^{\mathrm{T}}\mathbf{R}\) for a matrix \(\mathbf{R}\) in which all the columns are independent?
#605790
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