申論題

要證明關係 ?(?,?,?,?)R(A,B,C,D) 是否滿足 Boyce-Codd 正規化形式（BCNF），我們需要首先了解什麼是 BCNF：

Boyce-Codd 正規化形式（BCNF）的定義

一個關係 ?R 若要滿足 BCNF，需要滿足以下條件：

• 對於每個非平凡的功能相依 ?→?X→Y，?X 必須是超鍵（Superkey）。

分析關係 ?R

我們已知：

• 候選鍵：{A, B, D}
• 功能相依（Functional Dependency）：{A, B, D} → C 和 {C, D} → B

在這裡，我們需要檢查這些功能相依是否符合 BCNF 的條件。

檢查每個功能相依

我們需要檢查每個功能相依，確定它們是否滿足 BCNF 的條件：

1. 檢查 {?,?,?}→?{A,B,D}→C

   • {?,?,?}{A,B,D} 是候選鍵，因此它是超鍵。
   • 這個功能相依滿足 BCNF 的條件，因為 {?,?,?}{A,B,D} 是超鍵。

2. 檢查 {?,?}→?{C,D}→B

   • {?,?}{C,D} 不是候選鍵，因此不是超鍵。
   • 這個功能相依不滿足 BCNF 的條件，因為 {?,?}{C,D} 不是超鍵。

結論

由於功能相依 {?,?}→?{C,D}→B 不滿足 BCNF 的條件（即 {?,?}{C,D} 不是超鍵），關係 ?R 不滿足 Boyce-Codd 正規化形式（BCNF）。

將 R 分解為滿足 BCNF 的關係

為了使關係 ?R 滿足 BCNF，我們需要將其分解，使每個功能相依都滿足 BCNF 的條件。通常，我們可以將其分解成如下形式：

1. ?1(?,?,?,?)R1(A,B,D,C)

   • 在這個關係中，功能相依 {?,?,?}→?{A,B,D}→C
   • 因為 {?,?,?}{A,B,D} 是候選鍵，因此滿足 BCNF 的條件。

2. ?2(?,?,?)R2(C,D,B)

   • 在這個關係中，功能相依 {?,?}→?{C,D}→B
   • 因為 {?,?}{C,D} 是候選鍵，因此滿足 BCNF 的條件。

分解後的每個新關係都滿足 BCNF 的條件。

因此，根據上述分析，原始關係 ?R 不滿足 Boyce-Codd 正規化形式（BCNF）。