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(一)
X的邊際效用MUx = dU/dx = 0.25 * X^(-3/4) * Y^(3/4)
Y的邊際效用MUy = dU/dy = 0.75 * X^(1/4) * Y^(-1/4)
令 MUx/MUy = Px / Py ===> 使每一單位購買的效用相同。
得 (1/3)*Y/X = 10/10 = 1 ===> 3X = Y 可得知Y的購買數量是X的三倍。
再將此比例回預算限制式，可得：
9000 = Px*X + Py*Y = 10*X + 10*3X
==> X = 225 , Y = 3X =675。
(二)
由題目可得知，由於政府補助，X的價格由10元變成5元了。即 Px = 5。
令 MUx/MUy = Px / Py ===> 使每一單位購買的效用相同。
得 (1/3)*Y/X = 5/10 ===> 1.5X = Y 可得知Y的購買數量是X的1.5倍。
再將此比例回預算限制式，可得：
9000 = Px*X + Py*Y = 10*X + 10*1.5X
==> X = 450，Y = 675。
(三)
假設所得增加4000元，即所得 = M* = 13000=10X+10Y
再將Y=3X代入 X* = 325 ， Y* = 975。
我們可以發現，在此所得補貼下，購買的X所花費的金錢甚至低於其補貼的金額。 因此需討論兩種不同的CASE。
Case1：若可轉賣商品，則在獲得兌換券並且兌換了400單位的X財貨之後，消費者會將其中75單位的X財賣掉，將獲得的金錢拿去購買Y財貨，最後會得解 X = 325 ， Y = 975。
Case2：若不可轉賣商品，則此消費者在兌換400單位X財貨之後，不會再另外購買X財，此時剩下的9000單位所得，會全部購買900單位的Y財，此時會得解X = 400，Y = 900。
BY https://www.ptt.cc/bbs/Economics/M.1334804601.A.404.html