四、在私密金鑰的加密法中，假設要傳遞一串英文字（大小寫不分），我們先將英文字 對應成數字 1 到 26。若加密公式為 c＝(p+k) mod 26 ，k 為金鑰，c 為密文，p 為 明文，mod 為模數（modulus），請寫出解密公式。（15 分）

在私密金鑰的加密法中，使用模 26 進行加密和解密，明文和密文對應的數字範圍為 1 到 26。加密公式為 c=(p+k)mod  26，其中 k 是金鑰，p 是明文，c 是密文。

為了進行解密，我們需要從密文 c 中還原出明文 p。這可以通過調整加密公式來得到解密公式。

解密公式的推導

我們知道加密公式為： c=(p+k)mod  26

我們需要從密文 c 中解出明文 p。為此，我們可以對加密公式進行變換： c=(p+k)mod  26 可以改寫為： p+k≡cmod  26

為了解密，我們需要將 k 移到等式右邊，並且由於是模 26，我們需要注意負數的處理。因此，我們可以通過減去 k 並取模 26 來得到： p≡(c−k)mod  26

解密公式

p=(c−k)mod  26

注意事項

1. 如果 c−kc - kc−k 是負數，我們需要將其調整回正數範圍內。這可以通過加上 26 來實現： p=((c−k)+26)mod  26

2. 根據具體情況，也可以直接使用模運算來確保結果在 0 到 25 之間，然後再轉換到 1 到 26 的範圍。

示例

假設明文 p=3（對應於 'C'），金鑰 k=5那麼：

• 加密： c=(3+5)mod  26=8（對應於 'H'）

現在要解密密文 c=8，使用金鑰 k=5

• 解密： p=(8−5)mod  26=3（對應於 'C'）

所以，解密公式有效地將密文還原為明文。