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研究所、轉學考(插大)◆機率
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96年 - 96 國立高雄大學_博士班招生考試試題_統計學研究所:機率論#147982
> 申論題
題組內容
3. 設隨機變數$X$滿足$E(X^2) < \infty$。令$[x]$表小於或等於$x$之最大整數。則證明或否證:
(i) $E([X]) \leq E(X)$是否必成立?
相關申論題
(ii) $\text{Var}([X]) \leq \text{Var}(X)$是否必成立?
#610896
(i) $P(A_i) = (1 - 1/n)^r, E(N_n) = n(1 - 1/n)^r, \text{Var}(N_n) = n(n - 1)((1 - 2/n)^r - (1 - 1/n)^{2r}) + n((1 - 1/n)^r - (1 - 1/n)^{2r})$;
#610897
(ii) 若r與n有關, 且$n \to \infty$時, $r/n \to c$, 則$n \to \infty$時, $E(N_n/n) \to e^{-c}$, 且$N_n/n$機率收斂(converges in probability) 至$e^{-c}$。
#610898
5. 設隨機數列$\{X_n, n \geq 1\}$機率收斂至隨機變數X。試證存在子一數列$\{n_k, k \geq 1\}$, 使得$k \to \infty$時, $\{X_{n_k}, k \geq 1\}$幾乎確實地收斂(converges almost surely)至X。
#610899
a. If \( A^2 = A \) then the eigenvalues of \( A \) are either 0 or 1.
#610900
b. Let \( A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) \). If \( AB = 0 \) then \( \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) \leq n \).
#610901
c. If \( A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) \) then \( AB \) and \( BA \) have the same minimal polynomial.
#610902
d. If \( A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) \) then the determinant of \( AB - BA \) is zero.
#610903
a. (6) Find the projection of \( \mathbf{b} \) onto the column space of \( A \).
#610904
b. (6) Let \( \mathbf{b}_A \) be the projection of \( \mathbf{b} \) onto the column space of \( A \). Find solution \( \mathbf{s} \) to \( A\mathbf{x} = \mathbf{b}_A \) such that \( \| \mathbf{s} \| \leq \| \mathbf{u} \| \) for all other solutions \( \mathbf{u} \).
#610905
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