申論題

設 $n$ 為原始整數個數，設 $S$ 為原始整數的和。原始平均值為$\frac{S}{n}$。

當加上 15 時，新的和為 $S+15$，整數個數為 $n+1$。新的平均值是$\frac{S+15}{n+1}$。問題指出，這個新的平均值比原來的平均值大 2，所以 $$\frac{S+15}{n+1} = \frac{S}{n} + 2$$

當新組（已包含 15）新增 1 時，新的和為 $S+15+1 = S+16$，整數個數為 $n+1+1 = n+2$。新的平均值是$\frac{S+16}{n+2}$。問題指出，這個新的平均值比之前的平均值小 1，所以 $$\frac{S+16}{n+2} = \frac{S+15}{n+1} - 1$$

我們有兩個方程式： (1) $\frac{S+15}{n+1} = \frac{S}{n} + 2$ (2) $\frac{S+16}{n+2} = \frac{S+15}{n+1} - 1$

根據方程式 (1)：$n(S+15) = (n+1)(S+2n)$ $nS + 15n = nS + 2n^2 + S + 2n$ $15n = 2n^2 + S + 2n$ $13n = 2n^2 + S$ $S = 13n - 2n^

根據方程式 (2)： $(n+1)(S+16) = (n+2)(S+15-n-1)$ $(n+1)(S+16) = (n+2)(S+14-n)$ $nS + 16n + S + 16 = nS + 14n - n^2 + 2n +S 20n +S - n^2 + 2S + 28$ $4n - S - 12 + n^2 = 0$ $n^2 + 4n - 12 - S = 0$

將 $S = 13n - 2n^2$ 代入上面的等式：$n^2 + 4n - 12 - (13n - 2n^2) = 0$ $n^2 + 4n - 12 - 13n + 2n^2 = 0$ $3n^2 - 90012 -n = 400 0$

由於 $n$ 必須為正數，所以 $n=4$。

最終答案： 4