113年 - 113 張進通許世賢教育文教基金會_雲嘉南區國中數學能力競試試題：數學（二）#124230

1. 現有一群整數,將15這個整數加入這一群整數後,這些數字的平均較原先增加2。不將15這個整數取出。 再將1這個整數加入這一群整數後,這些數字的平均較先前的平均減少1,試問原先有多少個整數?

2. 若兩相異正整數x、y滿足,試求出的個位數為?

3. 如示意圖,長方形ABCD 內部有一點P,滿足 試求出的長度之值為?

4. 若實數數對 (x, y, z) 恆滿足 x+y-z = 1,2x - 2y + z = 1。若 ax² + by² + cz² = 1 恆成立, 試求出實係數數組(a,b,c)?

5. 試問有多少個整數可以使得 n³ - 8n² + 20n-13 為質數?

6. 設α、β、γ為 x³ − 3x² – 5x + 6 = 0 的三個根,試求出 (α⁴ − 3α³ − 5α² + 7α + 1)(β⁴ – 3β³ – 5β² + 7β + 1)(γ⁴ − 3γ³ – 5γ² + 7γ + 1) 之值為多少?

7. 如示意圖,L₁、L₂、L₃ 為三條平行線。 其中L₁、L₂之間的距離為2,L₂、L₃之間的距離為4。 A、B、C三個點分別在L₁、L₂、L₃ 上,且∆ABC 為正三角形。 試求出△ABC的面積為?

8. 已知a 為實數,且 f(x) =的圖形是一個拋物線。試求出當此拋物線頂點在直線x-2y + 4 = 0上時,a的值是多少?

9. 有一個二次多項式 f(x) = ax² + bx + c,已知 f(x) 的係數與 f(x) = 0 的根皆為整數,且f(0) = 0、f(15) = 225,試問滿足這些條件的 f(x) 共有幾組?

10. 如示意圖，圓心在 A，半徑為 1 的圓和圓心在 B，半徑為 3 的圓相外切。 第三個圓與前兩個圓都相外切，且與此二圓的一條外公切線也外切。 試求出三塊斜線部分的周長總和？ (請將答案寫成含 π 與不含 π 之兩部分的和或差)

11. 如示意圖，在長方形 ABCD 中，= 8，= 9。 H 在上使得= 6，E 在上使得= 4。 直線與直線相交於點 G，且 F 在 上使得。 試求出的長度之值。

12. 定義「@」是一個新的運算符號，其運算的規則為：a@b =，試求 (1@2) + (2@3) + (3@4) + … + [n@(n + 1)] + … + (2024@2025) – 2024 之值為？

13. 如示意圖，四邊形 ABCD 是一個平行四邊形，= 10。 在上取中點為 M，將 C、M 二點連成。 在上取一點 N 使得= 4、= 2，將 D、N 二點連成。交於點 E。試求出的長度與的長度的比值為？ (需化簡為最簡單整數比)

14. 在四位數字中，有些數字中的各個位數的數字都不會重複，如：2019，有些數字則在某些位數會重複使用到同一數字，如：2024。將這些會重複使用到某些數字的四位數稱為「好玩數」，試問在 1000 到 9999 的數字中，最多會有幾個「好玩數」連續出現？(如：從 2020 到 2030 連續出現了 11 個「好玩數」，而從 2199 到 2300 連續出現了 102 個「好玩數」)

15. 如示意圖，長方形 ABCD 的對角線上有一點 E， 將 D、E 二點連成後，再在此線段上取一點 F。 再將 B、F 二點連成後，令和的交點為 G 點。 已知 △AED 的面積是 60 平方單位，△ABG 的面積是 100 平方單位， △EGF 的面積是 15 平方單位，試求出 △FBD 的面積是多少平方單位？

二、計算證明題:
1. 在數學中,如果有看到「率」這個字,多半都是與「比值」有關,如:速率是距離和時間的比值、勝率是獲勝場數和總場數的比值,百分率是部分和全體的比值......等等。請回答下列問題。

(1)若說圓周率π是A和B的比值,請將A和B的中文名稱寫出來(注意:有順序之分)。

(2)承(1),下面三張圖分別是圓內接正六邊形、圓內接正八邊形,以及圓內接正十邊形的示意圖。 試參考下圖,說明出一種用以估計A的方法。(4分)

(3)證明:π ＞ 3.09。(6分)

2. (1) 設x 是整數,試證明:除了x=1 或x = -1之外,x⁴ +4為合數(不是質數)。

(2)試用(1)中的結論,若,試求出p的值。