2. Solve the following system of linear differential equations (25%).

\( y_1' = 5y_1 + 4y_2 \)  and \( y_{2}' = y_{1} + 2y_{2} \) with initial condition  \(y_1(0) = 2, y_2(0) = 3\)

3. Solve the ODE:\( 2x^2y'' + 4xy' + 2y = 0 \)(25%)

4. Solve the ODE:: \(y' + \frac{\sin x}{\cos x} y\)= 2 sin x cos x (25%) 

(b)  \[ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & -2 \\ 2 & 5 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 3 & 6 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 8 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 8 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 9 \end{bmatrix} \] \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 9 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]  

 (c)

2. Solution initial condition; We have transformed the original system into a diagonal system. The solution to this diagonal system of linear differential equations (as in example 1) is The general solution to the system of linear differential equations  is \(y_1 = 4c_1e^{6x} - c_2e^x\)  \(y_2 = c_1e^{6x} + c_2e^x\)

3. Solution \( (x^2y')' + (2xy)' = 0 \) \( x^2y' + 2xy = c_1 \) \( y' = dy/dx \) \( x^2dy + ydx^2 = c_1dx \) \( dyx^2 = c_1dx \)

4. Solution \( dy + \tan x y dx = 2 \sin x \cos x dx \) Integrate factor \( I(x) = e^{\int \tan x dx} = e^{-\ln \cos x} = \cos^{-1} x \) \( d(\cos^{-1} x y) = 2 \sin x dx \) \( \cos^{-1} x y = -2 \cos x + c_1 \)

(a) The matrix of coefficients A and column matrix of constants B are $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ and $B = \begin{bmatrix} -2 \\ -5 \\ 6 \end{bmatrix}$ It is found that |A| = –3 ≠ 0. Thus Cramer’s rule can be applied. We get \(A_1 = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -5 & 5 & 1 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}\) \(A_2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \\ 1 & 6 & 3 \end{bmatrix}\) \(A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & 5 & -5 \\ 1 & 2 & 6 \end{bmatrix}\) giving \(|A_1| = -3, |A_2| = 6, |A_3| = -9\)  。Cramer’s rule now gives \(x_1 = \frac{|A_1|}{|A|} = \frac{-3}{-3} = 1, x_2 = \frac{|A_2|}{|A|} = \frac{6}{-3} = -2, x_3 = \frac{|A_3|}{|A|} = \frac{-9}{-3} = 3\)

二、 作文：四十分選手在運動場上，隨時要面對行動的抉擇。而離開運動場之後，人生道路上也充滿十字路口，可能 要選擇運動項目，選擇合作夥伴與教練，選擇就讀學校，甚至選擇是否還要堅持以運動為志業。 現在請以「我在生命轉彎的地方」為題，作文一篇，闡述自己曾經做過的重大抉擇及其後續影響， 文長 500 字以內(請勿以詩歌體或小說體寫作，此兩者皆不予計分)。

二、 作文：四十分 請舉出實例，以「機會只留給準備好的人」為題，作文一篇。

115年 - 115 國立嘉義大學_碩士班招生考試試題_電機工程學系：工程數學#143896

114年 - 114 國立嘉義大學_碩士班招生考試試題_電機工程學系：工程數學#144120

113年 - 113 國立嘉義大學_碩士班招生考試試題_電機工程學系：工程數學#144102

112年 - 112 國立嘉義大學_碩士班招生考試試題_電機工程學系：工程數學#144404

110年 - 110 國立中央大學_碩士班招生考試_機械工程學系、機械工程學系(光機電工程)、能源工程研究所_(共同)：工程數學#125285

110年 - 110 國立臺灣大學_碩士班招生考試_部分系所：工程數學(A)#125255

110年 - [非官方正解]110 台灣聯合大學系統_碩士班招生考試_電機科:工程數學(C)#125211

110年 - [非官方正解]110 台灣聯合大學_碩士班招生_電機類：工程數學C#124898

110年 - [非官方正解]台聯大_工程數學B#113346

110年 - 110 國立臺灣科技大學_碩士班招生試題_材料科學與工程系(乙組)：工程數學#113288