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6.(15%) Using the theory of Residues, compute the inverse f(t), -∞＜t ＜∞, of the Fourier transform

相關申論題

1. (7%) Find the Laurent series representation of a function with center at a = j in the domain 1 ＜|z -j |＜ 2, j = .

2. (8%) Evaluate the following integral:where C denotes a counterclockwise simple closed contour |z| = 3.

3. (15%) Compute the Fourier transform of a signum function f(t) defined as Each calculation step is required for obtaining the credit.

(a) (4%) Suppose a is not a positive integer. Find real β and γsuch that{a1, a2, a3} is a linearly dependent set.

(b) (5%) Now let a = 2, β = -1,γ = -5, and let x be a nonzero vector in the null space N(A) of A. Find the value of k to satisty ||x|| 1 + 2||x||∞ + k||x||2 = 0.

(c) (6%) Now let a = 2, β = -1, γ= -5, and let d denote the distance between vector [1 4 0]T and R(AT), the range space of AT. Compute the value of d.

(a) (4%) Compute the angle θ, taken value in [0, π /2), between 1 and x.

(b) (6%) Find a vector u(x) in C[0, 1], so that {1, u(x)} forms an orthonormal basis for S.

(a) (5%) Suppose u ≡ 0 and the equations are driven by non-zero initial conditions. Determine the conditions on the coefficients such that

(b) (10%) Let the initial conditions be equal to zero. For the values , = -1, and calculate the response y(t) = 2x1(t) - x2(t). Determine at what time the peak value of y occurs.

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