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112年 - [無官方正解]112 國立臺北大學_碩士班一般入學考試試題_資訊工程學系：線性代數與離散數學#147373
> 申論題
9. Any two matrices with the same diagonal are similar.
相關申論題
10. If \( L: V \to V \) is a linear transformation and \( L(\mathbf{v}1) = L(2\mathbf{v}2) \), then \( (\mathbf{v}1 - 2\mathbf{v}2) \in \ker(L) \).
#606341
11. If \( \mathbf{A} \) is an \( m\times n \) matrix, then \( \mathbf{A}\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \) and \( \mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{A} \) have the same nullity.
#606342
12. If \( \mathbf{Q} \) is an orthogonal matrix, then \( |\mathbf{Q}^{\mathrm{T}}| = 1 \).
#606343
13. If \( \mathbf{x} \) and \( \mathbf{y} \) are unit vectors in \( \mathbf{R}^n \) and \( |\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}| = 1 \), then \( \mathbf{x} \) and \( \mathbf{y} \) are linearly independent.
#606344
14. Let \( \mathbf{A} \) and \( \mathbf{B} \) be \( n\times n \) matrices. If there exists a nonsingular matrix \( \mathbf{S} \) such that \( \mathbf{B} = \mathbf{S}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{S} \), then they have the same eigenvalues.
#606345
15. If \( \mathbf{A} \) and \( \mathbf{B} \) are \( n\times n \) matrices with the same characteristic polynomial, then they are similar.
#606346
16. The rank of an \( n \times n \) matrix \( \mathbf{A} \) is equal to the number of nonzero eigenvalues of \( \mathbf{A} \), where eigenvalues are counted according to multiplicity.
#606347
17. The rank of an \( n \times n \) matrix \( \mathbf{A} \) is equal to the number of nonzero singular values of \( \mathbf{A} \), where singular values are counted according to multiplicity.
#606348
18. Let \( \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} \), and \( \mathbf{D} \) be matrices. The computation of \( ((\mathbf{AB})\mathbf{C})\mathbf{D} \) requires the same number of floating-point operations as the computation of \( (\mathbf{AB})(\mathbf{CD}) \)
#606349
19. If \( \mathbf{A} \) is a nonsingular matrix and a numerically stable algorithm is used to compute the solution of a linear system \( \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \), then the relative error in the computed solution still could large.
#606350
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