4. (20 pts) Find the length of the cardioid r = a(1 - cos θ), as shown in Fig 2.

Fig. 2. The cardioid r = a(1 - cos θ).

48. 某機械元件承受疲勞變動應力為σ₁時，其疲勞壽命會有200000循環次數；而承受疲勞變動應力為σ₂ 時，其疲勞壽命有 500000 循環次數；而承受疲勞變動應力為σ₃時，則其疲勞 壽命有400000循環次數。若此機械元件先承受疲勞變動應力σ₁下，使用100000循環次數後，再改為承受疲勞變動應力σ₂下，使用200000循環次數，最後再改為疲勞變動應力σ₃繼續作用，則可再使用多少循環次數會達到疲勞壽命？ (A) 10000 (B) 20000 (C) 30000 (D) 40000