三、力學之部份 (含基本知識與考題)

 

基本知識 Basic Knowledge(如果你已熟悉向量運算和微積分，可直接開始答題)：

 

所謂的純量(scalar)是不具方向性的物理量，如：溫度、時間、質量。向量(vector)則是具有方向性的物理量，如：位移、速度、加速度…。

 

假設一固定於地球的座標系(使用卡氏座標系)的三個方向為 x，ŷ，ẑ。這三個方向彼此互相垂直，且皆為量值 = 1 的單位向量。對於一般量值不為 1 的向量，這裡會加上底線代表是向量。

 

若已知向量的三個分量(分別為 a1，a2，和 a3)，即 a = a1x + a2ŷ + a3ẑ。向量 a 的量值(以 |a| 的符號表示)為，|a| = √(a1)² + (a2)² + (a3)²。與之類似，若向量 b = b1x + b2ŷ + b3ẑ，則其量值 |b| = √(b1)² + (b2)² + (b3)²。 所謂兩向量的內積，是其相對應的分量乘積的總和，為一純量。例如 a 和 b 的內積(符號為 a·b)，即為 a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。此內積純量也可以用另一種方式求出，即 |a||b|(cosθ)。這裡的 θ 為兩向量間的夾角。 所謂兩向量 a 和 b 的外積(其結果為向量，符號為 a×b)，定義為： a×b = | x ŷ ẑ | = (a2b3 - a3b2)x + (a3b1 - a1b3)ŷ + (a1b2 - a2b1)ẑ 。另一種求外積的方式為分別求出其量值和方向。即 a×b 的量值為 |a×b| = |a||b|(sinθ)。而方向(量值 = 1)為依據右手定則，同時垂直於 a 和 b 的方向。這裡的右手定則，是指當右手的四指先指向 a，再朝 b 的方向卷曲，則此時拇指的方向即為所求的方向。此外，卡氏座標系的三個方向有這樣的特性：x×ŷ = ẑ，ŷ×ẑ = x；ẑ×x = ŷ。

 

微分基本概念：假設 f 為 x 的函數，即 f = f(x)。通常這些函數 f(x) 和 g(x)，可以簡寫成 f 和 g。所謂 df/dx，即 f 對 x 的微分，定義為當 h 趨近 0 時，(f(x + h) - f(x))/h 的值。從定義可證明 dx/dx = nxⁿ⁻¹；dsin(x)/dx = cos(x)；dcos(x)/dx = -sin(x)；d(lnx)/dx = 1/x；deˣ/dx = eˣ；還有一些常用公式如 product rule: d(fg)/dx = (df/dx)g + f(dg/dx)，即把兩函數的乘積微分，等於前者的微分乘以後者，加上後者的微分乘以前者；chain rule: 若 f = f(x) 且 x = x(t)，則 df/dt = (df/dx)(dx/dt)，即 f 對 x 的微分乘以 x 對 t 的微分。 積分基本概念: ∫f(x)dx = F(x) + C，這裡的 F 為 f 的反導數，即 dF/dx = f，而 C 為常數。例如 ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C。若積分符號有上下標，例如從 x = a 積分到 x = b，則積分的結果為 F(b) - F(a) (不需再加上常數 C)。假設 u 和 v 皆為 x 的函數，則 ∫udv = uv - ∫vdu(分部積分)。