115年 - 115 國家安全情報特種考試_三等_數理組（選試英文）：數論#140909

一、已知\(f(x) = (2x^3 - 3x^2 + x + a)^3\)，其展開式的各項係數總和為 8，求 f (x) 的奇次項係數總和。(10 分，須有計算過程)

二、已知多項式\(x^2 + x + 2\) 能整除多項式\(x^5 + x^4 + x^3 + px^2 + 2x + q\) ，求 p 和 q 的值。(10 分，須有計算過程)

三、假設 p = 3k + 2 是一個質數。試證：如果 p 可整除多項式 \(a^2 + ab + b^2\)(a 和 b 都是整數) ，則 a 和 b 必定都是 p 的倍數。(15 分)

四、試求出 25⁸⁰⁰⁰ 除以 7 的餘數是多少？(10 分，須有計算過程)

五、令 - N = p × q = 55，欲利用 e = 7 進行 RSA 加密，亦即\(12^7 \pmod{55}\) = X(X 即 為加密的密文) ，試解出 X。(15 分)

六、試求 3 mod 20 的乘法逆元。 (10 分，須有計算過程)

七、 \(M_p = 2^p - 1\) ，請分別驗證 M₇ 與 M₁₁ 是否為梅森質數(Mersenne prime)？ (20 分，各 10 分)

八、試論證二次同餘方程 \(X^2 = 13\) (mod 101)是否有整數解？(10 分)