100年 - 100 國立嘉義大學_轉學生招生考試試題：微積分#145357

1.\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 2x}{x^2} \]= ______ 。

2. 求\[ \int (3x+1)^5 dx \] =_________ 。

3. 設\( h(x) = f(g(x)) \)，且 \( g(3)=1 \)，\( g'(3)=2 \)，\( f'(1)=0 \)，求 \( h'(3) = \)_______ 。

4. 求\[ \frac{d}{dx} \int_{2}^{3x} (t^2 + 1) dt \] = _____________。

5. 令\( f(x) = \sqrt{2+2x\sqrt{1-x^2}} \), 求 \( f'(x) \)= ________。

6. 計算\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \left(1+\frac{2i}{n}\right)^3 \frac{2}{n} \] =____________。

7. 計算\[ \int_{0}^{3} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}} dx \]=___________ 。

8. 計算曲線 \( y = \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2x} \), \( x \in [\frac{1}{2}, 2] \)=___________的長度 。

9. 計算\[ \int_{1}^{\infty} (1-x)e^{-x}dx \]=___________ 。

10. 求曲線\( x^2(x^2 + y^2) = y^2 \), 在點 \( (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \)上的切線方程式為___________ 。

二、 計算題：(每小題10分，共40分)
1. 利用 \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \] , 求 \( f(x) = \sqrt{x} \)的導數(derivative)。

2. 令 $f(x) = x^3 + x^2 - x - 1, x \in (-2, 1)$。求此函數 f(x)的最大值和最小值。

3. 請判斷無窮級數 \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n+3}{2n-1} \right)^n \]收斂還是發散，並說明你的理由。

4. 計算 \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{5x^2y}{x^2+y^2} \]=？