100年 - 100 高等考試_三級_電力工程、電子工程、醫學工程：工程數學#96868

1 試求聯立微分方程式之通解？ (A) ，其中c₁，c₂為常數(B)，其中c₁，c₂為常數為常數 (C) ，其中c₁，c₂為常數 (D)，其中c₁，c₂為常數

2設y₁(x)及y₂(x)是微分方程式A:y“+p(x)y'+9(x)y=0的解,而y₃(x)及y₄(x)是微分方程式

B:y"+p(x)x'+q(x)y=r(x)的解,則下列敘述何者錯誤?(題中p(x),q(x),r(x)為x之函數,且r(x)≠0)

(A)必定也是微分方程式A的解(其中c₁及c₂為任意常數)

(B)必定也是微分方程式A的解

(C)必定也是微分方程式B的解

(D)必定也是微分方程式B的解

3假設函數之逆拉氏轉换(inverse Laplace transform)為人,其

中a、b、c為常數,求a+b+c?

(A)-3 (B) 2(C) 3 (D) 4

4 求複變函數積分之值，其中積分路徑 C 的參數式為 ，其中 i =√− 1 。 (A)(B)(C)(D)

5 解微分方程式 y ′ − 3 y = −6 y 2 ， y (0) = −1 （其中 ） (A) (B) (C) (D)

8 複變函數 為中心展開的羅倫級數（Laurent series）為何？其中 i = √− 1 。

(A) (B) (C) (D)

9 若 A 及 B 皆為正交矩陣（orthogonal matrix），則下列敘述何者不恒真？ (A)矩陣 AB 也必為正交矩陣 (B)矩陣 A+B 也必為正交矩陣 (C)矩陣A-1也必為正交矩陣 (D)（其中det X表矩陣X的行列式值）

10 轉換 T : R ² → R ³ 定義為，則：

(A) (B) (C) (D)

11 設 A 為 3× 3 的矩陣，若 A 的行列式值 ，則 det(-2A)之值為何？ (A)-6 (B)6 (C) 24 (D)-24 

12令矩陣 ，則下列敘述何者錯誤？ (A) (B)若 θ = π / 10 ，則矩陣 B 為單位矩陣（unit matrix） (C)無論 θ 為何值，矩陣B及的特徵值（eigenvalue）之絕對值均為 1 (D)無論 θ 為何值，矩陣B及的行列式值（determinant）均為 1

13 兩連續隨機變數 X、Y 之結合機率密度函數（joint probability density function）為 ，求 P( X ＜ Y ) =？  (A) (B) (C) (D)

14 一個盒子中有 998 個黑球及 2 個白球，若自盒中隨機挑選 500 球，令 x 為其中白球之數量，試求條件機 率 P ( x = 1 | x = 1 或 x = 2) =？(A) (B) (C) (D)

16 若 X 為一連續隨機變數（continuous random variable），其機率密度函數（probability density function）為 ，試求 k =？  (A)1 (B)2 (C)3 (D)6

17 求 之值為何？ (A) (B) (C) (D)

18 請計算 之值，其中 i = √− 1 。 (A) − 4 + 4i (B) 4i (C)−4 (D)4

19 若 ϕ ( x, y , z) = xy − yz + xyz ，則其在點 P = (0,−1, 1) 之最大改變率（rate of change）之值為何？ (A)−2 (B)2 (C) √5 (D) √6

一、令 ，試求 f (t ) 之拉氏轉換（Laplace transform）。

(三)求。

三、試解微分方程 x y ′′′ − 3x² y ′′ + 6 xy ′ − 6 y = x⁴ ln x ，其中 x ＞ 0 ， 以下類推。

四、設 v = xyi − 4 j + zyk 及 A = (0, 1, 0) 、 B = (2, 0, 1) 、D = (3, 2, 1) 等三點，若 C 為由 A 到 B 及 B 到 D 兩直線線段所組成。 求 ( xydx − 4dy + zydz ) = ？