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101年 - 101年南區國中數學#108738

科目：教甄◆數學 | 年份：101年 | 選擇題數：50 | 申論題數：0

試卷資訊

所屬科目：教甄◆數學

選擇題 (50)

1. 已知在座標平面上兩點 A( −1, 5) 、 B(2, 7) ，若點 P (x,y)滿足 PA = 3PB ，則 P 點軌跡為何？ (A) 圓 (B) 橢圓 (C) 拋物線 (D) 雙曲線
2. 已知一長方體之所有邊長的總和為 80，又知一頂點到最遠之另一頂點的距離為 15，則此長方體之表面積為何? (A) 175 (B) 200 (C) 225 (D) 250
3. 已知一三角形的三邊長分別為11, 15, k ，且 k 為整數，試問滿足此三角形為鈍角三角形之 k 有幾個？ (A) 7 (B) 12 (C) 13 (D) 14
4. 設 A( −2, 1) 、 B( −2, 4) ，已知點 C 、 D 在直線 y = x − 6 上，且線段 AC 與線段 BD 交於原點，試問線段 CD 的 長度為何？ (A) 2 (B) 2√2 (C) 3 (D) 2 + √2
5. 已知三角形的三邊長為 √5, √13, 4 ，則這三角形的面積為何？ (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
6. 在 18 × 18 的正方形圍棋盤（ 19 等距的水平線段與 19 條等距的鉛直線段交錯而成）上，用兩條水平線與兩條鉛 直線所圍成的正方形中，令 a1 代表邊長為 1 的小正方格的個數，令 a2 代表邊長為 2 的正方格的個數，…，依此類推。以下何者不正確？ (A) a1 = 324 (B) a17 = 4 (C) a9 是 a14 的 4 倍 (D) a1 + a2 + L + a18 = 183
7. 正整數 x 介於 200 和 300 之間，已知 x 被 3 除餘 2 ，被 5 除餘 3 ，被 7 除餘 2 ，則 x 的各個位數的和為多少？ (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 

8. 若實係數三次多項方程式 x 3 + bx 2 + cx + 1 = 0 有一根為 ，則 b + c = ?  (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 

9. 設 ，並令函數 f ( x ) = ，則對實數 x, y ,下列何者不正確？ (A) f ( x ) ＞ 0 (B) f (3) ＜ f (π ) 1 (C) f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) (D) f ( x ) ＞

10. 設 ，則下列何者正確 ?  (A) (B) (C) f (0) = 0 (D) f ′(0) = 2 

11. 設的整數部份為 a 且小數部份為 b ，則=?  (A) 3 (B) -2 (C) -6 (D) 1 

12. 設 log 2 = a, log 3 = b ，則log6  = ?  (A) (B) (C) (D)

13. 設一平行四邊形 ABCD 的兩鄰邊長為 5 與 8，夾角為 60o 。若兩對角線的夾角為 θ ，則 sin θ =?  (A) (B) (C) (D)

14. 設 x, y ∈ R 且 3x + 4 y = 5 ，則 x 2 + 2 y 2 的最小值為何? (A) (B) (C) (D)

15. 用 10 種顏色來塗正四面體的表面，要求每面塗一色、各面異色且此四面體可翻轉，則有多少種不同的塗法? (A) 1260 (B) 1680 (C) 420 (D) 210 1 1 1

16. 試求滿足 ＞ 100 的最小自然數 n 為何?  (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13
17. 某班某次段考的數學平均分數為 40 分、標準差 10 分，且只有一人及格，其分數為 90 分。若老師將每人成 績乘以 1.5，超過 100 分者以 100 分算，那麼新的平均分數為 59 分，試問班上有多少人? (A) 33 (B) 35 (C) 36 (D) 40
18. 將 1,2,3,4,5,6,7 任意排列，數字 1 排在 2,3 前面的機率為何? 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 2 5 4 3 2 1
19. 設 A,B 為獨立事件， P ( A) = , P( B) = ，則 P ( A′ ∪ B ′ ) = ? 5 3 11 12 13 14 (A) (B) (C) (D) 15 15 15 15
20. 設甲、乙兩袋各有一紅球、一白球，今從兩袋各取一球交換，如此稱為操作一局，則操作兩局後，甲袋仍為 一紅球、一白球的機率為何? 1 1 3 3 (A) (B) (C) (D) 2 3 5 4
21. 設平面 E 通過 A(2,-1,1), B(-3,1,2), C(1,2,1) 三點，則下列何者為 E 的法向量? (A) (3,1,13) (B) (-3,-1,12) (C) (1,1,2) (D) (2,3,5)
22. 若 a, b, c 都是質數(不必都相異)，且滿足 a + b + c + abc = 99 ，則 a + b + c = ？ (A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23
23. 已知 b, c 均是小於 10 的正整數，若二次方程式 x 2 − bx + 3c = 0 的二根為 α 和 β ，且 1 ＜ α ＜ 2 ， 5 ＜ β ＜ 6 ，則 b+c =? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11
24. 從 n 個連續正整數 1、2、3、…、 n 中，刪去一個數後，若剩下 ( n − 1) 個數的總和為 2003，試求這個刪去的 數為何 ? (A) 7 (B) 13 (C) 19 (D) 23
25. 在 12 、 22 、 32 、 L 、 992 、 1002 這 100 個數中，十位數字為奇數的數共有多少個？ (A) 16 (B) 20 (C) 25 (D) 32 【數學試題 共 4 頁，第 2 頁】
26. 已知二次函數 f ( x ) = a ( x + 1) + b 滿足 f ( −4 ) ＞ 0 ， f ( −5 ) ＜ 0 ，則下列三個數： f ( 0 ) 、 f ( 2 ) 、 b 由小而大的 2 次序為何？ (A) f ( 2 ) ＜ f ( 0 ) ＜ b (B) f (0) ＜ f (2) ＜ b (C) f (2) ＜ b ＜ f (0) (D) f (0) ＜ b ＜ f (2)
27. 已知 x, y 均為正整數，若 29 x +145 y 為完全立方數，則 x + y 的最小值為何? (A) 121 (B) 169 (C) 173 (D) 174
28. 有 100 元，200 元，500 元的鈔票（每種至少一張）共 24 張，合計 10000 元，則其中 200 元鈔票有多少張？ (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 9
29. 有五位小朋友甲、乙、丙、丁、戊，他們的體重分別為 a、b、c、d、e 公斤，若 a + b ＜ c + d ， b + c ＜ d + e ， c + d ＜ e + a ， d + e ＜ a + b ，則這五位小朋友中體重最重是哪位? (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁
30. 設 a 、b 為正整數，已知 a − b = 120 ，且 a 、b 的最小公倍數是其最大公因數的 105 倍，則 a = ? (A) 205 (B) 215 (C) 225 (D) 235
31. 已知 ΔABC 中， AB = AC ， ∠BAC 與 ∠ACB 的角平分線交於 I 點，若 ∠AIC = 126° ，則 ∠CAB = ? (A) 31° (B) 29° (C) 27° (D) 36° ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
32. 求 ⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟L ⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟= ? ⎝ 1 × 3 ⎠⎝ 2 × 4 ⎠⎝ 3 × 5 ⎠ ⎝ 93 × 95 ⎠⎝ 94 × 96 ⎠ 95 96 98 99 (A) (B) (C) (D) 48 47 49 50 ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 930 ⎞
33. 已知[ x ]表示小於或等於 x 的最大整數，若 f (x) = x - [ x ]，則 f ⎜ ⎟ + f⎜ ⎟+ f ⎜ ⎟ +L + f ⎜ ⎟ =? ⎝ 93 ⎠ ⎝ 93 ⎠ ⎝ 93 ⎠ ⎝ 93 ⎠ (A) 450 (B) 455 (C) 460 (D) 465

34. 如右圖所示，將紙片 ΔABC 沿著 DE 折疊壓平。已知 ∠1 = 23° ， ∠2 = 33° ， 則 ∠A = ?

(A) 23°(B) 28°(C) 31°(D) 34°
35. 求 lim+ ( ) x =？ x →0 x (A) 0 (B) 1 (C) e (D) 不存在 x2 − y2
36. 求 lim =？ ( x , y ) →(0, 0) x2 + y2 (A) 0 (B) 1 (C) −1 (D) 不存在
37. 試求曲線 y = x 2 和 y = 2 x + 3 所圍成的封閉區域之面積為何? 31 21 32 65 (A) (B) (C) (D) 3 2 3 6
38. 下列何者為 f ( x) = x ln x 的一個局部極小值 ? (A) − 2e −1 (B) 2e (C) 0 (D) 2 ln 2 【數學試題 共 4 頁，第 3 頁】 { }
39. 設 Q = ( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ a 2 ，則 ∫∫ e − x 2 − y2 dxdy = ? Q (A) π (1 − e − a ) (B) π (C) π e − a (D) 1 − e − a 2 2 2
40. 將由 y = x 與 y = x 2 所圍成的有限區域繞 x 軸旋轉 360o 得一立體，則此立體的體積為何? π π 2π π (A) (B) (C) (D) 3 15 15 5
41. 設函數 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c 在 x = −1 處有極大值 7 ，在 x = 3 處有極小值，則 a 、 b 、 c 的值下列何者正確？ (A) a = 3 (B) a = 1 (C) b = −9 (D) c = −2 x2 +1 9
42. 設 f ( x) = ( ) , 則 f ′(1) + f ′′(1) − ( f ′(1)) 2 = ? 2 (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 3 2
43. 試求 ∫ −2 (4 − x 2 ) 2 dx = ? 3 (A) π (B) 6π (C) 8π (D) 10π 8
44. 設 A 為 n 階方陣， AT 代表 A 的轉置矩陣， det( A) 代表 A 的行列式(determinant)，以下敘述何者不正確？ (A) det( A) = det( AT ) (B) 若 det( A) = 0 ，則 A 沒有反矩陣 (C) det( A101 ) = (det( A))101 (D) 若 det( A) ≠ 0 ，則 A 未必有反矩陣 1
45. 設 V=C([0,1])為定義在[0,1]上的連續實函數所成的向量空間。對於 f , g ∈ V , 定義 ＜ f , g ＞= ∫ f (t ) g (t )dt ， 0 且 f (t ) = t , g (t ) = e t ,則下列何者正確? e2 −1 1 1 (A) g = (B) f = (C) f,g = (e − 1) (D) f ,g =1 2 3 2
46. 設 V = C 2 且 ＜ ( x, y ), ( z , w) ＞= x z + y w 。若 T 為 V 上的線性變換且 T ( z , w) = (2 z + iw, (1 − i ) z ) 。令 T * 表示 the adjoint of T，則 T *(3 − i, 1 + 2i ) = ? (A) (4 − i , 2 − 4i ) (B) (4 + i , 2 + 4i ) (C) (5 − i , 1 − 3i ) (D) (5 + i , −1 − 3i ) ⎛ 0 0 1⎞ ⎜ ⎟
47. 令 A = ⎜ 1 0 0 ⎟ ，且 I 為三階單位矩陣，則下列何者不正確? ⎜0 1 0⎟ ⎝ ⎠ (A) A100 = A (B) A 2012 = A (C) A 999 = I (D) lim A n 不存在 n →∞ ⎧ ⎛a b⎞ ⎫ ⎧⎛ 0 a ⎞ ⎫
48. 設 V = M 2×2 ( R ), W1 = ⎨ ⎜ ⎟ ∈ V | a, b, c ∈ R ⎬ , W2 = ⎨⎜ ⎟ ∈ V | a, b ∈ R ⎬ ，則 dim(W1 ∩ W2 ) + dim(W1 + W2 ) = ? ⎩ ⎝c a⎠ ⎭ ⎩⎝ −a b ⎠ ⎭ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
49. 設集合 A = {(a, b, c) a, b, c 為正整數且 a + b + c = 12 } ，且 A 中每一序對被抽中的機率均等。今從 A 中隨機抽 取一序對 (a, b, c) ，發生 a ＜ b ＜ c 的機率為何？ 1 6 7 8 (A) (B) (C) (D) 10 55 55 55
50. 2 的 100000 次方除以 77 所得的餘數為何？ (A) 17 (B) 23 (C) 36 (D) 42

申論題 (0)