102年 - 102 大學入學考試中心_指定科目考試：數學甲#18980

科目：高中分科◆數學甲 | 年份：102年 | 選擇題數：15 | 申論題數：7

試卷資訊

所屬科目：高中分科◆數學甲

選擇題 (15)

1. 設 z 為一複數，且

為虛數單位）。試問| z | 的絕對值 z 為下列哪一個選項？ (A) 1 / 2 (B) √2 / 2 (C) 1 (D) √2 (E) 2

2. 坐標平面上，直線 x = 2 分別交函數 y = log₁₀ x、 y = log₂ x 的圖形於 P、 Q 兩點；直線 x =10分別交函數 y = log₁₀ x 、 y = log₂ x 的圖形於 R 、 S 兩點。試問四邊形 PQSR 的面積最接近下列哪一個選項？（ log₁₀ 2 =0.3010 ） (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14

3. 袋中有大小相同編號 1到 8 號的球各一顆。小明自袋中隨機一次取出兩球，設隨機變數 X 的值為取出兩球中的較小號碼。若 k p 表 X 取值為 k 的機率（ k =1,2, ,8  ），試問有幾個 k p 的值大於 1 / 5 ？ (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4 個 (E) 5 個

4. 考慮所有由 1、 2、 3、 4、 5、 6各一個與三個 0所排成形如

對角線均為 0的三階方陣。今隨機選取這樣一個方陣，試問其行列式值

為奇數的機率為下列哪一個選項？ (A) 1 / 20 (B) 1 /10 (C) 1 / 2 (D) 9 / 10 (E) 19 / 20

5. 令 A( -2, 0) 、 B(0, 1) 、 C(2, 1) 、 D(4, 3)為坐標平面上四點。請選出正確的選項。 (A) 恰有一直線通過 A 、 B 、 C 三點 (B) 恰有一圓通過 A 、 B 、 D 三點 (C) 恰有一個二次多項式函數的圖形通過 B 、 C 、 D 三點 (D) 恰有一個三次多項式函數的圖形通過 A 、 B 、 C 、 D 四點 (E) 可找到兩平行直線，其聯集包含 A 、 B 、 C 、 D 四點

6. 設 c 為實數， E1、 E2、 E3 皆為坐標空間中的平面，其方程式如下：

E₁： cx + c =y

E₂： cy + z = 0

E₃ ： x + cz =1

已知 E1、 E2、 E3 有一個交點的 z 坐標為 1，請選出正確的選項。 (A) (1,0,0)是 E1、 E2、 E3 的一個交點 (B) E1、 E2、 E3 有無窮多個交點 (C) E1、 E2、 E3 中一定有兩個平面重合 (D) c = 1 (E) E1、 E2、 E3 有一個交點的 z 坐標為 2

7. 令 f (x)= x³-x²-2x+1 。設 a、 b、 c 為方程式 f (x) =0 的三個實根，且 a 存在 (B) a、 b、 c 至少有一個在 0 與 1 之間 (C) a, a² , a³ ,…, aⁿ ,…為收斂數列 (D) b, b² , b³ ,…, bⁿ ,…為收斂數列 (E) c , c ² , c ³ ,…, c ⁿ ,…為收斂數列

8. 考慮函數 f (x)= |sin x |+|cos x| ，其中 x 為任意實數。請選出正確的選項。 (A) f (-x) = f(x) 對所有實數 x 均成立 (B) f 的最大值為 √2 (C) f 的最小值為 0 (D) f(π/10)>f(π/9) (E) 函數 f 的（最小正）週期為 π

9. 考慮向量

= ( a,b ,0) 、

= (c ,d ,1) ，其中 a²+b²=c²+d²=1。請選出正確的選項。 (A) 向量

與 z 軸正向的夾角恆為定值（與 c 、 d 之值無關） (B)

的最大值為 √2 (C)

夾角的最大值為 135° (D) ad -bc 的值可能為 5 / 4 (E) |

|的最大值為 √2.

10 (AB)1 (AC)2 (AD)3 (AE)4 (BC)5 (BD)6 (BE)7 (CD)8 (CE)9 (DE)0

11 (AB)1 (AC)2 (AD)3 (AE)4 (BC)5 (BD)6 (BE)7 (CD)8 (CE)9 (DE)0

12 (AB)1 (AC)2 (AD)3 (AE)4 (BC)5 (BD)6 (BE)7 (CD)8 (CE)9 (DE)0

13 (AB)1 (AC)2 (AD)3 (AE)4 (BC)5 (BD)6 (BE)7 (CD)8 (CE)9 (DE)0

14 (AB)1 (AC)2 (AD)3 (AE)4 (BC)5 (BD)6 (BE)7 (CD)8 (CE)9 (DE)0

15 (AB)1 (AC)2 (AD)3 (AE)4 (BC)5 (BD)6 (BE)7 (CD)8 (CE)9 (DE)0

申論題 (7)

(1) 試說明p(x)> -1 -x² 對所有的 x ≧1均成立。（ 2 分）

【已刪除】(2) 設 t ≧1，試求

。（ 3 分）

(3) 試求 C 。（ 2 分）

(4) 試求 p(x) 。（ 5 分）

(A) 試問變換 M 的矩陣為何？（ 4 分）

(B) 試證明變換 M 將 ∆ABC 的重心映射至 ∆A'B'C'的重心。（ 4 分）

(C) 若 ΔABC 的面積為 3 ，試求點 C'與直線 A'B'的距離。（ 4 分）