104年 - 104 國立嘉義大學_轉學生招生考試試題：微積分#145003

科目：研究所、轉學考(插大)-微積分 | 年份：104年 | 選擇題數：0 | 申論題數：17

試卷資訊

所屬科目：研究所、轉學考(插大)-微積分

選擇題 (0)

申論題 (17)

### 一、填充題（每題 6 分，共 60 分）

1. 求下列各極限：(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} =$ __________ 。 (2) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x =$ __________ 。
2. 求經過曲線 $3(x^2 + y^2)^2 = 100xy$ 上點 $P(3, 1)$ 之切線方程式為何？ __________ 。
3. 何謂微積分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus）？ __________ 。
4. 平面上給定一點 $P(0, 2)$，試在函數 $y = f(x) = 4 - x^2$ 的圖形上找一點 $Q$，使 $P$ 與 $Q$ 兩點的距離最短 __________ 。
5. 求兩曲線：$y = f(x) = x^3$，$y = g(x) = x$ 所圍成的區域之面積為何？ __________ 。
6. $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \, dx = \ln(p)$，則 $p =$ __________ 。
7. 求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - \sin x)^{2015} \, dx =$ __________ 。
8. 設 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n-1} + ax^2 + bx}{x^{2n} + 1}, -1 \leq x \leq 1$。若 $f$ 為連續函數，則數對 $(a, b) =$ __________ 。
9. 求 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\cos(4x^2 + 4y^2) - 1}{(x^2 + y^2)^2} =$ __________ 。
10. 求 $\int_1^3 \int_x^{x^2} 6 \, dy \, dx =$ __________ 。
1. 假設函數定義如下：$f(x) = \begin{cases} x, & \text{if } 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x, & \text{if } 1 < x \leq 2 \end{cases}$。
(a) 判斷 $f$ 在 $x=1$ 處是否可微分(differentiable)？為什麼？（5 分）
(b) 並求 $\int_0^2 f(x) \, dx = ?$ （5 分）
2. 設函數 $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$。(a) 請求出 $f(x)$ 的局部極值，與所有漸近線之方程式。（6 分）
(b) 並畫出 $y = f(x)$ 的圖形。（4 分）
3. (a) 將 $f(x) = \ln(x)$ 表為在點 $x=1$ 展開的 Taylor 級數。（5 分）
(b) 利用(a)的結果，求無窮級數 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{2^n}{n 3^n}$ 的和。（5 分）
4. 求 $\int_0^\infty x e^{-2x} \, dx = ?$ （10 分）