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工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
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105年 - 105 鐵路特種考試_高員三級_電力工程、電子工程：工程數學#53498
科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率) |
年份：
105年 |
選擇題數：
20 |
申論題數：
6
試卷資訊
所屬科目：
工程數學(應用數學, 線性代數、微分方程、複變函數與機率)
選擇題 (20)
1 求出路徑 C 之單位切線向量（unit tangent vector），其中C : x = cos(t) + tsin(t)，y = sin(t) − t cos(t) 及 z = t
2
： (A)(1/
)[cos(t)i +sin(t)j+ 2k] (B)(1/
)[sin(t)i + cos(t)j+ 2tk] (C)(1/
)[sin(t)i + cos(t)j + 2k] (D)(1/
)[sin( t)i cos(t )j+ 2tk
2 2 求力向量F = i − ( y)j + (xyz)k ，使一質點沿曲線
由(0,0,0) 移至(1,−1,1)所做之功：(A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4
3設u(t), v(t), w(t) 為三向量函數，則下列何者錯誤？ (A)(cv(t))′ = cv′(t) （c 為一常數） (B)(u(t) + v(t))′ = u′(t) + v′(t) (C)(u(t) • v(t))′ = u′(t) • v(t) + v′(t) •u(t) (D)(u(t)× v(t))′ = u′(t)× v(t) + v′(t)×u(t)
4
之散度（divergence）div F 為何？ (A)
(B)
(C)
(D)
5 已知
，且 X
-1
AX = D ，其中 D 為對角矩陣，求det(A
100
： (A) 5
100
(B)5
101
(C)
5
100+
4
100 (D)0
6 下列那一矩陣滿足
= O ？ (A)
(B)
(C)
(D)
7 令 S 為 (1, 0, i) 與 (1, 2,1) 在三維複數空間所生成之子空間，則下列何者在 S 之正交補集（orthogonal complement）
⊥
S 中？ (A)(1, 0, − i) (B)(2, 1+ i, − 2i) (C)(1+ i, 1− i, 3) (D)(2, −1+ i, − 2i)
8 一個矩陣
，下列何者輔因子（cofactor）錯誤？ (A)C
11
= 0 (B)C
21
= −48 (C)C
31
= 30 (D)C
41
= 3
9 令複數 z = 1+ i ，則 z 亦可改寫為何？ (A)
，n 為整數 (B)
，n 為整數 (C)
，n 為整數 (D)
，n 為整數
10 已知複變數函數
的奇異點（singular point）是為一個極點（pole），試決定此極點的階數 （order） M 及對應的留數（residue）B 分別為何？ (A)
(B)
(C)
(D)
11 微分方程式
，其中 c
1
，c
2
為任意常 數，求α + β ： (A) −1 (B)0 (C)1 (D)2
12 採用級數解法來求微分方程式(1+ x)y′ = 2y 的解可得下列的表示式 (
，試求 a、b、 c 值： (A) a = 2, b = 2, c =1 (B) a = 2, b =1, c = 2 (C) a = 1, b = 1, c = 2 (D) a = 1, b = 2, c = 1
13 已知微分方程式
= 的通解為
，試求 a、b 之值，並判定下列何者正確？ （題中 a、b、c
1
及 c
2
為常數） (A) a + b = −1.5 (B) a + b = 1.5 (C) a + b = −2.5 (D) a + b = 2.5
14 求u(t) 和 2u(t)的迴旋（convolution），其中u(t) 為單位步階函數： (A)0 (B) 2u(t) (C) 2tu(t) (D)
15 定義函數 f (t) 之拉氏轉換（Laplace transform）
，則 f (t) 為何？下列選項中的u(t) 為單位步階函數。 (A)
(B)
(C)
(D)
16 下列選項何者為
於 z = 0 之泰勒展開式？ (A)
(B)
(C)
(D)
17 已知一部汽車引擎之生命遵循平均值為 10 年之指數分佈（exponential distribution），求一部用了 10 年之 汽車引擎可以再用 5 年之機率為何？ (A) e
−1/ 4
(B)e
−1/ 2
(C) e
−2
(D) e
−4
18 離散隨機變數 X 與 Y 之結合機率質量函數（ joint probability mass function ） 為
，試求條件機率 P(X =1|Y ≤ 2) ： (A)1/ 6 (B)1/ 4 (C)1/ 3 (D)1/ 2
19 從 1 到 1000 的整數中隨意任選一個數字，則這個數字可以被 3 或是 5 整除的機率為何？ (A)0.333 (B)0.467 (C)0.533 (D)0.599
20 給定一個連續隨機變數 X，其累積分佈函數（cumulative distribution function）
，則 機率 P(X =1) 之值為何？ (A)1 −e
-8
(B)0 (C)1 (D) 8e
−8
申論題 (6)
【已刪除】一、
，計算sin A =？（10 分）
二、函數 φ(x, y,z) =18xyz + e
x
的梯度（gradient）向量為何？此梯度向量的旋度（curl） 為何？（10 分）
【已刪除】三、求解
。（15 分）
⑴ X 和 Y 是否為獨立的隨機變數？（請說明理由）（5 分）
⑵P(0.25＜ X ＜ 0.5|Y = 0.75) =？（10 分）
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)[cos(t)i +sin(t)j+ 2k] (B)(1/ 
)[sin(t)i + cos(t)j+ 2tk]
(C)(1/ 
)[sin(t)i + cos(t)j + 2k] (D)(1/
)[sin( t)i cos(t )j+ 2tk 
由(0,0,0) 移至(1,−1,1)所做之功：(A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4
之散度（divergence）div F 為何？
(A)
(B)
(C)
(D)
，且 X -1AX = D ，其中 D 為對角矩陣，求det(A100 ：
(A) 5100 (B)5 101 (C)5 100+ 4100 (D)0
= O ？
(A) 
(B) 
(C)
(D) 
，下列何者輔因子（cofactor）錯誤？
(A)C11 = 0 (B)C21 = −48 (C)C31 = 30 (D)C41 = 3 
，n 為整數 (B) 
，n 為整數
(C)
，n 為整數 (D) 
，n 為整數
的奇異點（singular point）是為一個極點（pole），試決定此極點的階數
（order） M 及對應的留數（residue）B 分別為何？
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
，其中 c1，c2 為任意常
數，求α + β ：
(A) −1 (B)0 (C)1 (D)2
，試求 a、b、
c 值：
(A) a = 2, b = 2, c =1 (B) a = 2, b =1, c = 2
(C) a = 1, b = 1, c = 2 (D) a = 1, b = 2, c = 1
= 的通解為
，試求 a、b 之值，並判定下列何者正確？
（題中 a、b、c1及 c2為常數）
(A) a + b = −1.5 (B) a + b = 1.5 (C) a + b = −2.5 (D) a + b = 2.5
，則 f (t)
為何？下列選項中的u(t) 為單位步階函數。
(A)
(B)
(C)
(D)
於 z = 0 之泰勒展開式？
(A)
(B)
(C)
(D)
，試求條件機率 P(X =1|Y ≤ 2) ：
(A)1/ 6 (B)1/ 4 (C)1/ 3 (D)1/ 2
，則
機率 P(X =1) 之值為何？
(A)1 −e -8 (B)0 (C)1 (D) 8e −8 
，計算sin A =？（10 分）
。（15 分）