106年 - 106 高等考試_三級_電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程：工程數學#63534

1 試求由三點P₁(2, 2, 0) , P₂(− 1, 0, 2)   ,P₃ (0, 4, 3)  所決定之三角形的面積： (A)6.5 (B)7 (C)7.5 (D)8

2 下列集合中之向量，何者為線性獨立（linearly independent）？ (A){(3, 1, − 4), (2, 0, −1), (3, −1, 1)} (B){(1, 2, 0), (−1,1, 2), (3,1, 5), (0,1, −1)} (C){(1,1, − 2), (0,1, 0), (2,1, −1)} (D){(3,1, 0), (2, −1,1), (1, 0,1), (2,1, −1)}

3 一階微分方程式 之解為：（其中C 為常數。） (A) (B)(C)(D)

4 設 x、 y 、 z 為任意實數，下列選項何者恆為正確？ (A) (B)(C) (D)

5 ，求cos A 。 (A)(B) (C)(D)

6. ，設，試求 f {A} 為何？ (A) (B) (C)(D)

7 i = ，展開複數函數 f (z) = cosh(5 − 2i) 為： (A) f (z) = cosh 5cosh 2 − isinh 5sinh 2 (B) f (z) = cosh 5cos 2 − isinh 5sin 2 (C) f (z) = cos 5cosh 2 − sin 5sinh 2 (D) f (z) = cos 5cos 2 − isin 5sin 2

8 i = ， ？ (A) (B) (C) ， n 為任意整數 (D) ， n 為任意整數

9 假設C 為| Z| = 3 之逆時針方向的圓周，求 =？（i =） (A) 4π i (B)π i (C)9π i (D) − 2π i

10 假設微分方程式 y′ + 4y = cost 且 y(0) = 0，下列何函數不會出現在 y(t)的解之中？ (A) (B)cost (C)sint (D) e⁻¹

11  y′′ − 3y′ − 4y = 8x ²， y(0) = 1， y′(0) = 2，其中 ，則 y′′(0) =？ (A)10 (B)6 (C)4 (D)0 

12 設微分方程式 xy′′ + 2y′ = 6x ，且 y(1) =1， y′(1) = 2 ，則下列何者正確？ (A) y(2) = 2 (B) y(−1) = −1 (C) y′(2) = −2 (D) y′(−1) = −2

13 設 x(t) 為之解，則 之值為何？ (A)∞ (B)6 (C)0 (D) − 2

14 z 為複數（Complex variable），則 ？（i = ） (A) (B) (C) (D)

15 試求冪級數之收斂半徑。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

16 求 之反拉普拉斯轉換。 (A) (B)(C) (D)

17 求, ，週期 p = 4之傅立葉級數（Fourier series）。 (A) (B) (C) (D)

18 給定一個隨機變數 x，其累積分布函數（cumulative distribution function），求機率 P(x ≤ 5 | x ≥ 2) 之值為何？ (A) (B)(C) (D)

19 假設產品是否為不良品是互相獨立的事件。已知某公司所生產之手機的不良率為 1%，若此公司以 10 台 手機為一包裝銷售，且保證 10 台手機中最多只有 1 台不良品，否則就退貨。試求賣出包裝好的產品中退 貨的比例為多少？提示：(0.99)⁹ ≈ 0.9135  。 (A)0.2% (B)0.4% (C)0.6% (D)0.8%

20 設隨機變數（random variable） X 和 Y 的聯合機率密度函數（joint probability density function）為 ，則 之值為何？其中 E[Z] 定義為隨機變數 Z 的期望值。 (A)8 (B)16 (C)32 (D)64

一、計算Ax = b 最小平方問題（least square problem）的解。

⑴求M 之特徵值（eigenvalue）。

⑵求矩陣P 以滿足MP 為對角矩陣（diagonal matrix）。

⑶求 M ⁴ 。

⑴求常數a、b、 y ₀ 及  y′₀之值。

⑵求微分方程式的解 y(t)。

四、每一次白努利試驗（Bernoulli trials）中，成功之機率為 p，失敗之機率為q =1− p ， 則代表在 n 次獨立試驗中成功次數的二項式隨機變數 x ，其機率分布, x = 0,1, 2, 3,...., n。若 F(x)在x=x₀處有極大值，x ₀  之值為何？