107年 - 107 教育部高中教師甄試 03-5003數學科#69116

1.設四邊形 ABCD 為邊長 2 的正方形，E 點與 F 點分別為與 的中點，空間中 垂 直四邊形 ABCD，又 =1 ，求 D 點到平面 EFG 的距離？ (A) (B)(C)(D)

2.設 a 、b 為正實數，如果 ，試求 ab = ？ (A)512 (B)1024 (C)2048 (D)4096。

3.投擲一公正骰子三次，所得的點數依序為 a、b、c 。在 b 為偶數的條件下，行列式 > 0的機率最接近下列哪個選項？ (A)0.33 (B)0.34 (C)0.35 (D)0.36。

4.設 a 、b 為實數，若 a + b = 2 ，試求的最大值？
(A)
(B)
(C)
(D)

6.五個數 a、b、c、d 、e 均為實數，若且 時， 則 c 的最大值為 k，c 的最小值為 t ，下列選項何者正確？ (A) k = 7 (B) k = 6 (C) t =-2 (D) t =-4。

7.令為坐標平面上兩向量。已*知 的長度為1， 的長度為2且之間的夾 角為 60° 。令，其中 x 、 y 為實數且符合以及 ，則內積 最大值為何？ (A)14 (B)7 (C) -6 (D) -8。 

8.在△ABC中，已知 = 3、 ，∠C 為鈍角且△ABC的外接圓半徑為 ，則 cos ∠BAC =？ (A) (B) (C) (D) 。

9.若，求的值？ (A) 1 (B) -1 (C) (D)。

10.已知 ，當 k a = 時，積分 有最小值 b，則下列選項何者正確？ (A) (B) (C) (D)。

11. ( )，數列 是等差數列， ，則下列哪些選項正確？ (A)數列 是等 比數列 (B)若數列 的公差 d > 0 ，則數列的公比 (C)數列 的首項 ，公差 ，要使 ，則最小正整數 (D) ，公差，若，則。

12.全班 40 人參加數學、物理測驗，各科分數均為 0~100，已知數學平均 50，標準差 8 分， 物理平均 M，標準差 12 分，導師算得物理對數學的迴歸直線方程式為 ，則下 列哪些選項正確？ (A)M=57.5 (B)數學與物理成績的相關係數是 0.5 (C)已知小王數 學考 80，則物理也一定考 80 (D)以算術平均數為中心，物理成績分布比較分散。

1. 若 ，且 ，求 θ=___________

2. 有一數列 ，若 ，且 ，求 a ₃₀= _______。

3. 設為2018次的多項式，且，求= _________ 。

4. 無窮級數 的和為何？ _________

5. 已知，設，則之值為_______________。

6. 由

兩圖形所圍成的封閉區域（塗色
部分），如右圖。若作直線
L
垂直
x
軸，分別與封閉區域的邊界交
於P、Q兩點，試求在封閉區域內的

長的最大值。

7. 試求 之值，其中[ ]為高斯函數。

8. 已知 m、n 為正整數，則滿足 的所有 n 的總和為多少？

9. 設數列滿足，其中。已知=________

1. 已知
，若方程式

有三實根，且
，求不等式

的解

2. 若複數 (其中 x 、 y 為實數)，滿足，則 xy=？

3. 已知：利用極限的概念與二項式定理。試證： 。