107年 - 2018 年亞太數學奧林匹亞競賽-初選考試#80999

科目：奧林匹亞數學 | 年份：107年 | 選擇題數：0 | 申論題數：9

試卷資訊

所屬科目：奧林匹亞數學

選擇題 (0)

申論題 (9)

一、 (7分) 已知梯形 ABCD 內接於圓 O, AB || CD, 過點 D 作圓的切線交 CA 的延長線於點 F, 且 DF || BC. 若 CA = 5, BC = 4. 試問: 線段 AF 的長 = _________ (化為最簡分數)

(1) (3分) 若 (x, y) = 1 (即, x, y 互質), 試問: k 的值。答: ___

(2) (4分) 若 (x, y) = 4, (即 x, y 的最大公因數為 4), 試問: k 的值。答: ______

三、 (7分) 已知正整數 a, b 滿足 . 試問: |10(a − 5)(b − 15)| + 8 之值。答: ____

四、 (7分) 將 1 ∼ 16 這 16 個正整數隨機地填入 4 × 4 棋盤的 16 個格子中 (每格填寫一數)。試問: 使每行、每列填數之和皆為偶數的機率為多少? 答:____

五、 (7分) 設 (i) a1, a2, a3 成等差數列, a1 + a2 + a3 = 18; (ii) b1, b2, b3 成等比數列,b1b2b3 = 64. 若 a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3 是正整數且成等比數列。試問: a3 的最大值。答:

六、 (7分) 設 ABCD 是單位正方形, E, F 分別是 CD, BC 的中點, AE 交對角線 BD 於點 P. AF 分別交 BD, BE 於點 Q, R. 試問: 四邊形 P QRE 的面積。答:___

(1) (2分) 此時還有多少名同學面對教練? 答

(2) (5分) 面對教練的同學中, 自左至右第 66 位同學所報的數是多少? 答