108年 - 2019 年亞太數學奧林匹亞競賽-初選考試#80979

試卷資訊

選擇題 (0)

申論題 (9)

一、 (7分) 在 ∆ABC 中 ∠B = 90◦ , 線段 AB ＞ BC. 今有 ∆AiBC (i = 1, 2, · · · , n) 與 ∆ABC 相似 (頂點不一定對應)。試問 n + 2018 的最大值為_____________

二、 (7分) 將 1, 2, · · · , 2018 這 2018 個數任意排成一列, 得到一個數 A. 試問: 以 3 除 A 的餘數為多少? 答_____

三、 (7分) ∆ABC 為銳角三角形, H 為垂心。射線 AH, BH, CH 分別交 ∆ABC 的外接圓於點 A′ , B′ , C′ . 試問:_________________

(1) (2分) 試問 [a2019] =______________

(2) (5分) 試問=

五、試求最小正整數 n, 使得任意 n 個正整數集合 A 中都有 15 個元素且其和皆能被 15 整除。答: 最小正整數 n =______________

(1) (2分) 試問 f(0) =

(2) (5分) 設 a1, a2, · · · , a100 是 100 個兩兩相異的正整數, 試求 f(a₁) + f(a₂) + · · · + f(a₁₀₀) − f(a₁ + a₂ + · · · + a100) =_________________

七、 (7分) 設正整數 k 滿足 1 ＜ k ＜ 100. 對 1, 2, · · · , 100 的任一個排列 a1, a2, · · · , a100, 取最小的 m ＞ k, 使 am 至少小於 a₁, a₂, · · · , a_k 中 (k − 1) 個數。已知滿足 a_m = 1 的數列個數為. 假設 k 的值為 a 或 b (a ＜ b). 試問: a = ________; b = __________