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106年 - 2017 年亞太數學奧林匹亞競賽-初選考試#81668

科目：奧林匹亞數學 | 年份：106年 | 選擇題數：0 | 申論題數：7

試卷資訊

所屬科目：奧林匹亞數學

選擇題 (0)

申論題 (7)

一、 (7分) 已知 E 是矩形 ABCD 邊 AD 的中點, BE⊥AC 於點 F, AF = 2. 則 5e045f837b4fd.jpg
二、 (7分) 已知 a, b, c, d 是不全為 0 的實數且 k1, k2, k3, k4 為正整數。 滿足 
b + c + d = k1a, c + d + a = k2b 
d + a + b = k3c, a + b + c = k4d. 
令 k1 + k2 + k3 + k4 之可能值為 pi , i = 1, · · · , 12. 
試問: 5e046001114e6.jpg
三、 (7分) 設 an 是集合 {1, 2, · · · , n} (n ≥ 3) 中具有如下性質的子集的個數: 每個子集至少含有 2 個元素, 且每個子集中任意 2 個元素之差 (絕對值) 大於 1. 試問: a10 =____________
四、 (7分) 已知 f(x) 是定義在實數上的函數。 若 f(0) = 0, 且對任意實數 x, 滿足 
f(x + 4) − f(x) ≤ x 2 ,
 f(x + 16) − f(x) ≥ 4x 2 + 48x + 224, 
試問: f(64) = _____________.
五、 設 n (n ≥ 11) 是正整數。 由不大於 n 的連續 10 個正整數的和組成集合 A, 由不大 於 n 的連續 11 個正整數的和組成集合 B. 若 A ∩ B 的元素個數是 181. 試問: 
(i) (3分) n 的最小值為 __________, 
(ii) (4分) n 的最大值為_________.
六、 (7分) 設三個不同的質數 a, b, c 滿足:
a|(3b − c), b|(a − c), c|(2a − 7b), 20 < c < 80. 
試問: a b c = ___________
七、 (7分) 在平行四邊形 ABCD 中, AB = 8, ∆ABD 的外接圓半徑為 5.
 試問: 對角線 AC 的最大值。 答5e046b7dad7f5.jpg