108年 - 108 地方特種考試_三等_電力工程、電子工程：工程數學#81780

1 令 u = i-j-k；v = -3i+4j+6k；w = -2i-4j+2k，則由 u，v 及 w 所形成的平行立方體（parallelepiped） 體積為何？ (A) 9 (B) 9 (C) 18 (D)18

A = ，試問之最大值為何？(A)1(B)2(C)3(D)4

3 令矩陣 A = ， P = ，且 P ^-1AP = D ，其中 D 為一3 3 對角矩陣（diagonal matrix），下列敘述何者正確？ (A) a + b + c = 5 (B) a ✖ b  ✖ c = 4 (C) a - b - c = 0 (D)

4 已知 A 為m ✖ n 矩陣且 rank{A}=r，下列敘述何者正確？ (A) Ax=0 的解空間（solution space）維度（dimension）為m - r(B)若 m=n=r 且 x 為n✖1未知矩陣，則 Ax=0 存在唯一解(C)若 m=n=r，則 A 的列向量（row vector）彼此間都是線性相依（linear independent）(D)若 m>n>r，則 A 的列向量（row vector）彼此間都是線性獨立（linear dependent）

5 求矩陣有幾個線性獨立之特徵向量？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

6 A = ，令 ，則a₁₁ + a₂₂ = (A) e - e² (B) e + e²  (C) -e + e² (D) 2e - e²

7 下列何者為(-64) 的複數根？ (A) -1-i (B) -2 - i (C) -1- 2i (D) -2 - 2i 

8 = ？(A) ，其中 n 為任意整數 (B) ，其中 n 為任意整數 (C) ，其中 n 為任意整數 (D) ，其中 n 為任意整數

9 求 ，沿著路徑積分之值： (A) (i -1)  (B) (i -1)  (C) (i -1)  (D) (i -1)

10 假設 f (z) = 1 ，求 之值，C 為| z - 2| = 1 之逆時針之圓周。 (A) 0 (B) 2π i (C) -2π i (D) 4π i

11 假設為微分方程式 的解，則a + b + c 為何？ (A)-6 (B)-4 (C) 7 (D) 9 

12 假設路徑C 是一逆時針的正方形，其各邊位於直線x =±2 和 y = ±2 之上。試求出 值為何？ (A) 2π (B)π (C) -π i (D) 1

13 給定一組微分方程式 ，起始值為 x₁ (0) = 0, x₂ (0) = -1，則 = ？ (A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)無窮大

14 令，試求 F(s)之反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform） f (t) = L^-1 {F (s)} ？  (A)1- sin(t) + cos(t), t > 0(B) t + sin(t) - cos(t), t > 0(C)1+ t - sin(t) - cos(t), t > 0u (D)1+ t + sin(t) + cos(t), t > 0

15 下列何者為偏微分方程式 的解？以下c1, c2 ,α 為常數。 (A) ，其中K = a² y(B) ，其中K = a² y(C)，其中T = a² x(D) ，其中T = a2x

16 求之反拉普拉斯轉換為下列何者？(A) -2e^-t + t + 2 (B) -2e^-t - t + 2 (C) -2e^-t + t - 2 (D) -2e^-t - t - 2

17 已 知 函 數 x(t) 其 傅 立 葉 轉 換 為且-∞ X ( jω) = 2(u(ω + 3) - u(ω - 3)) ， ，其中方程式 ，請問 t 為下列何者時，x(t)=0？(A) (B)(C) (D)

18 一個盒子中有 30 顆 IC，劣品比率為 1/6，在某次實驗中取了 10 顆 IC，試問此次實驗所用的 IC 都是良品的機率為何？(A)(B)(C)(D)

19 給定一個連續隨機變數 X，其機率密度函數為 ，試問一個隨機變數Y= 3 X- 2  ，則此隨機變數 Y 的變異數（variance） 為何？ (A) 18 (B) 36 (C) 64 (D) 144

20 設有一連續隨機變數 X 具有機率密度函數 ，求其期望值。 (A) 1 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 4/5

一、求通解（general solution）為 的二次微分方程式，其中c ₁ 及c₂ 為任意常數。（10 分） 

二、求週期為 2T 的函數， , 且 f(x+2T) = f(x) 拉普拉斯轉換（Laplace transform）。（15 分）

四、求 ，其中γ為| z |= 5 的圓。（10 分）

五、 及 ， 求 x ， 使得|| Ax - B || 最小（ least square solution）。（10 分）